我们通过归纳对$q$进行争论，$q = 0$的情况是微不足道的。如果$q \geqslant 1$，我们有$C(s_1 \ldots s_q).C(w) \subset C(s_1).C(s_2 \ldots s_q).C(w)$。到归纳假设，$C(s_2 \ldots s_q).C(w)$包含在$C(s_{j_1} \ldots s_{j_p} w)$的并中，其中

通过(T3)，集合$C(s_1).C(s_{j_1} \ldots s_{j_p} w)$包含在集合$C(s_1 s_{j_1} \ldots s_{j_p} w)$和$C(s_{j_1} \ldots s_{j_p} w)$的并中。这就证明了引理。

显然，$\mathrm{BWB}$在$x \mapsto x^{-1}$下是稳定的，引理1表明在乘积下是稳定的。由于它包含$B$和$N$，所以它等于$G$。

仍有待证明 $C(w) \neq C(w')$ if $w \neq w'$。为此，我们将通过归纳对整数$q$证明以下断言：

(A_q) 如果$w$和$w'$不同于$W$的元素，使得$l_S(w) \geq l_S(w') = q$，则$C(w) \neq C(w')$。

（对于$l_S(w)$中的定义，请参阅§ 1, no. 1。）

这个断言对于$q = 0$来说是明确的，从那时起$w' = 1$和$w \neq 1$，因此$C(w') = B$和$C(w) \neq B$。

假设 $q \geq 1$ 和 $w, w'$ 满足 (A_q) 的假设。存在$s \in S$使得$sw'$是长度$q - 1$。我们有

因此$w \neq sw'$。此外，$sw \neq sw'$；通过 § 1, no. 1 的公式 (3)，我们有

通过归纳假设，$C(sw')$不同于$C(w)$和$C(sw)$；由公式 (2) 可知

从$C(sw') \subset C(s).C(w')$开始，我们终于有了$C(w) \neq C(w')$。

对于任何$s \in S$，令$P_s$为元素$w \in W$中的集合，使得

我们要验证§ 1, no. 7的$P_s$满足条件（A'），（B'）和（C）； 定理的两个断言将遵循§ 1, no. 7的第6条命题。

条件 (A') 清晰。

我们验证（B'）。如果$P_s$和$sP_s$在公共的中有元素$w$，我们就会有$w \in P_s$和$sw \in P_s$，因此

由此得出$C(s).C(s).C(w) = C(w)$，并且通过公式 (5)，这将意味着$C(w) = C(sw)$，这将与 Th 相矛盾。 1.

我们验证（C）。让$s, s' \in S$和$w, w' \in W$与$w' = ws'$。 假设 $w \in P_s$ 和 $w' \notin P_s$ 意味着

由（3）。

由 (9) 和关系 $w = w's'$ 可知

通过公式 (2'), $C(w').C(s') \subset C(w') \cup C(w's')$，这立即意味着 因为 $C(w')$ 是左陪集 $gB$ 的并并且因为 公式 (10) 表明$C(s)w'$ 满足$C(w')$ 并且*更不必说* $C(s)w's'B$ 满足$C(w')s'B$。从公式 (11) 和 (12) 可以得出，双陪集 $C(sw)$ 等于双陪集 $C(ws')$ 和 $C(w)$ 之一；从 $sw \neq w$ 开始1 允许我们结论 $sw = ws'$。

在取 $w_i$ 的减少的分解时，减少到减少的分解的情况

如果$u = s_2 \ldots s_q$，则$w = s_1 u$和$l_S(s_1 u) > l_S(u)$，因此$C(w) = C(s_1).C(u)$乘以定理。所需的公式由 $q$ 上的归纳得出。

如果 $t \in T_w$，则存在定义元素 $w', w'' \in W$ 和 $s \in S$ 使得

由科. 1、

因此，

由 (4)，$C(s) \subset C(s).C(s)$。因此，

a) 对于任何减少的分解 $(s_1, \ldots, s_q)$ 或 $w$，

b) 群 $H_w$ 包含于 $C(w)$ 由$C(w)$生成。

我们通过归纳在$j$上证明a)。假设对于$k < j$，$C(s_k)$包含在$H_w$中。让

$W$的元素$t$属于至子集$T_w$在§ 1, no. 4的引理2中定义。由科. 2、$C(t) \subset H_w$，因此$C(s_j) \subset H_w$。

从 $C(w) = C(s_1) \ldots C(s_q)$ 开始，cf. Cor. 1，我们有$C(w) \subset H_w$，b)如下。

b) 映射X↦G_X是G包含B的子群的$\mathscr{P}(S)$到集合双射。

c) 令 (X_i)_{i \in I} 为子集和 X 的族。如果$X = \bigcap_{i \in I} X_i$，则$G_X = \bigcap_{i \in I} G_{X_i}$。

d) 令X和Y为S的两个子集。则$G_X \subset G_Y$（或$G_X = G_Y$）当且仅当$X \subset Y$（或$X = Y$）。

显然$G_X = (G_X)^{-1}$； 引理 1 of no. 1 表明$G_X . G_X \subset G_X$；因此a)如下，考虑到Cor。 1 Th。 2.

X ↦ G_X 的单射性源自 X ↦ W_X (§1, no. 8, Th. 2)。相反，令 H 为 G 包含 B 的子群。令 U 为 $w \in W$ 的集合，使得 $C(w) \subset H$。我们有$H = BUB$，因为H是双陪集的并。设 $X = U \cap S$；我们证明$H = G_X$。显然，$G_X \subset H$。另一方面，令 $u \in U$ 和$(s_1, \ldots, s_q)$ 为 u 的约化分解。科。 3 Th。 2 意味着 $C(s_j) \subset H$，因此 $s_j \in X$ 代表 $1 \leq j \leq q$。因此，$u \in W_X$，并且由于 $u \in U$ 的 H 是 $C(u)$ 的并，所以我们有 $H \subset G_X$，这证明了 b)。

断言 c) 和 d) 源自 W_X (§ 1, no. 8, Th. 2) 的类似属性。

元素$w \in W$使得$B \cup C(w)$是G的子群是那些存在$X \subset S$和$W_X = \{1, w\}$的。此外，如果$w \neq 1$，我们必然有 Card(X) = 1 ，即$w \in S$。

我们有$G_X = BW_XB = BN'B$，这表明$G_X$是由$B \cup N'$生成的。 公理（T1）到（T4）的验证现在是直接的。

设$s_1, \ldots, s_q \in X$和$t_1, \ldots, t_q \in Y$。 引理 1 表明

因此 相反的包容性是显而易见的。

设$w \in W$使得$g \in C(w)$。 Since $B$ is a subgroup of $G_X$, the hypothesis $g B g^{-1} \subset G_X$ implies that $C(w).C(w^{-1}) \subset G_X$, and hence that $C(w) \subset G_X$ by Cor. 3 of Th. 2, so $g$ belongs to $G_X$.

a) $P$ 是抛物线当且仅当存在 $S$ 的子集 $X$ 且 $P$ 为共轭到 $G_X$（对于 $G_X$ 的定义，cf. no. 5）。

b) 设$X, X' \subset S$和$g, g' \in G$使得$P = g G_X g^{-1} = g' G_{X'} {g'}^{-1}$。然后，$X = X'$和$g' g^{-1} \in P$。

断言 a) 由 Th 得出。 3、b）。 在 b) 的假设下，我们有

命题 3 表明$g^{-1} g' \in G_X$。因此，Th 为 $G_{X'} = G_X$ 和 $X' = X$。 3、b）。最后， 这就证明了b)。

如果抛物线子群 $P$ 为共轭到 $G_X$，其中 $X \subset S$，则 $P$ 被称为 型 X。

(ii) 两个抛物线子群且交是抛物线，则不是共轭。

(iii) 设$Q_1$和$Q_2$为包含在$G$的子群$Q$中的$G$的两个抛物线子群。然后任意$g \in G$使得$gQ_1g^{-1} = Q_2$属于到$Q$。

(iv) 每个抛物线子群都是其自己的归一化器$^6$。

断言 (i) 来自 Props。 3和4，并暗示(ii)。在(iii)的假设下，我们有$gQ_1g^{-1} \subset Q$，这意味着$g \in Q$乘以(i)。最后，(iv) 由 (iii) 得出 $Q_1 = Q_2 = Q$。

首先将$P_1$和$P_2$变换为$G$的内自同构，我们可以假设$B \subset P_1$。令$g \in G$ 使得$gB_2g^{-1} \subset P_2$。由 Th. 1、存在$n \in N$和$b, b' \in B$使得$g = bn b'$。由于$T$在$N$中是正常的，

和

这就证明了命题。

由于$BH$是$G$包含于$B$的子群，因此存在$S$的唯一子集$X$，使得$BH = G_X$（Th.3）。

设$s_1 \in X$和$s_2 \in S - X$；设$n_1$和$n_2$分别为$s_1$和$s_2$中$N$的代表。那么$n_1 \in G_X = BH$并且存在$b \in B$使得$bn_1 \in H$。由于$H$在$G$中是正常的，所以$G$属于到$H$中的元素$h = n_2 b n_1 n_2^{-1}$。这意味着

如果 $s_2 s_1 s_2$ 的长度等于 3，Cor. 1 Th。 2 意味着

(6) 如果$H$是群$G$的子群，则$G$中$H$的归一化器是元素$g$的子群$\mathfrak{N}(H)$由……组成 $G$使得$gHg^{-1} = H$。如果 $H' \subset \mathfrak{N}(H)$，子群 $H'$ 据说可以标准化 $H$，在这种情况下，$HH' = H'H$ 是 $G$ 的子群，其中 $H$ 是正常的。

因此$h \in H \cap C(s_2 s_1 s_2)$。由于$H \cap C(s_2 s_1 s_2)$非空，因此$s_2 s_1 s_2 \in W_X$。由于$(s_2, s_1, s_2)$是缩小的分解，因此得出$s_2 \in X$，与我们的假设相反。

因此$l_S(s_2 s_1 s_2) \leq 2$；如果$l_S(s_2 s_1 s_2) = 1$，则$s_1 s_2 \in S$，如此$(s_1 s_2)^2 = 1$，或$s_1 s_2 = s_2 s_1$。如果$l_S(s_2 s_1 s_2) = 2$，§1, no. 5的性质（E）意味着$s_2 s_1 = s_1 s_2$，因为$s_1 \neq s_2$。 Q.E.D.

群 U 的以下性质进入Th。 5 如下：

(R) 对于任何不同于 U 的正常子群 V，换位子子群（cf. 代数，第 I, §6, no. 8）*U/V 与 U/V* 不同。

每个可溶群满足(R)；特别地，每个阿贝尔的群满足(R)。可以证明对称群$\mathfrak{S}_n$满足(R)(cf.Exerc.29)。

(1) U 在 B 中是正规的且 B = UT。 (2) U 有性质 (R)。 (3) G1 等于其换位子子群*。 (4) Coxeter 系统 (W, S) 不可约 (cf. §1, no. 9)。

那么G1归一化的G的每个子群H要么包含在Z中，要么包含在包含G_1*中。

首先我们证明 G = G1 T*。 群 $G_1 T$ 包含于 B，因此是它自己的标准化器（Th. 4）；但当 N 标准化 $G_1$ 和 T 时，它也标准化 $G_1 T$，因此$N \subset G_1 T$。由于G是由B和N生成的，因此有$G = G_1 T$。

下一个，集合

从 $G'$ 包含于 $G_1$ 开始，我们有 $G = G'T$，因此有 $N = N'T$。将$N'$包含在N中，因此定义，在经过上商，同构$\alpha : W' \to W$。让$S' = \alpha^{-1}(S)$。

我们现在证明 (G', B', N', S') 是山雀系统。从$G = BNB$和$B = TU = UT$开始，我们有$G = UNU$。由于U是$G'$的子群，因此有$G' = UN'U$；从$U \subset B'$开始，这证明了(T1)。公理 (T2) 满足，因为 $\alpha$ 是同构。令 $w \in W$ 且令 $w' = \alpha^{-1}(w)$ 为 $W'$ 的相应的元素。我们有

由此我们结论得出$G' \cap BwB = B'w'B'$，这意味着将$G'$包含在经过上的G 定义与双射的商

B'\setminus G'/B' 到 B\setminus G/B。 Axiom (T3) 紧随其后。公理 (T4) 由 B = B'T 得出。

子群 H 在 G' 中是正规的。将引理 2 应用于 (G', B', N', S')，存在 S' 的子集 X'，使得 B'H = G'_X'，并且 S' 的每个元素 - X' 与 X' 的每个元素进行交换。鉴于假设(4)，只有两种可能：

a) X' = \varnothing，即 B'H = B'，所以 H \子集 B' \子集 B。如果 g \in G，则 g = g_1 t，g_1 \in G_1，t \in T，并且 H \子集 g_1 B g_1^{-1} 因为 G_1 标准化了 H。因此 H \子集 g B g^{-1}，并且由于 Z 是 g B g^{-1} 的交，所以我们有 H \子集 Z。

b) X' = S'，即 B'H = G'。由于 G = G'T，我们有

当 B 对 U 进行归一化时，U 的每个共轭都是形式 hUh^{-1}，其中 h \in H。这样的子群包含在群 UH 中，因此 G_1 \子集 UH 乘以 G_1 的定义。因此，我们有同构

通过假设 (3)，G_1/(G_1 \cap H) 等于其换位子子群。 假设 (2) 现在显示群 U/(U \cap H)，它同构于 G_1/(G_1 \cap H)、约化到单位元素。因此 G_1 \cap H = G_1 和 G_1 \子集 H，完成证明。

Th。图 5 显示 G_1/(G_1 \cap Z) 是简单的或约化到单位元素。另一方面，假设(3)意味着它等于它的换位子子群。由此得出推论。