习题 10, § 2

令$G$为群，且$B$为$G$的山雀子群。 我们使用Exerc的记号。 3. 对于 $s \in S$，用 $G^{(s)}$ 子群 $G_{S-\{s\}}$（练习 3 g）表示。 Let $I$ be the set of subsets of $G$ of the form $gG^{(s)}$ (for $g \in G$ and $s \in S$), and $\mathscr{C}$ the set of subsets of $I$ of the form $C_g = \{ gG^{(s)} \mid s \in S \}$ for $g \in G$. $C_g$ 称为$I$ 的腔室（§ 1，练习 15）。 让$G$通过左平移作用于$I$。

a) 令 $\mathfrak{F}$ 为 $I$ 面的集合（即腔室的子集，cf. § 1，练习 15）。让$F \in \mathfrak{F}$。证明$S$和元素$g \in G$存在唯一的子集$X$使得$gG_X = \bigcap_{a \in F} a$；据说$F$是型$X$。证明$F$对于$s \in S - X$来说是$gG^{(s)}$的集合，并且在任何包含它的房间里都是余维$\mathrm{Card}(X)$。表明映射$j : F \mapsto \bigcap_{a \in F} a$为严格递减双射，兼容左翻译，从$\mathfrak{F}$到$g \in G$形式$gG_X$$G$子集集合以及$X \subset S$。证明，如果$X \subset Y \subset S$，型$X$包含的每个面都是型$Y$的唯一面。

b) 证明$G$传递作用于集合$\mathscr{C}$，并且$C_g$（$g \in G$）的稳定子等于$gB g^{-1}$； 映射$g \mapsto C_g$因此定义双射从$G/B$到$\mathscr{C}$。

c) 证明两个房间$C_g$和$C_{g'}$（$g, g' \in G$）是相邻的（§ 1，练习15）当且仅当存在$s \in S$使得$g' \in g(B \cup BsB)$。

d) 令$C_1, \ldots, C_n$为$I$的腔室并放入$C_0 = C_e$。证明以下条件是等价的： (i) 序列 $\Gamma = (C_0, C_1, \ldots, C_n)$ 是一个单射画廊； (ii) 存在$S$的元素的序列$s = (s_1, \ldots, s_n)$和$B$的元素的序列$(b_1, \ldots, b_n)$，使得$C_j = b_1 \bar{s}_1 b_2 \bar{s}_2 \ldots b_j \bar{s}_j (C_0)$（其中$\bar{s}_j$表示给定的元素双陪集 $Bs_j B$) 用于 $1 \leq j \leq n$。

证明，如果满足这些条件，则序列 s 是唯一的：则将其称为$\Gamma$ 的型，并用$s(\Gamma')$ 表示。证明单射画廊是最小的当且仅当其型是减少的分解。证明满足以下条件：

(WI 1) 对于I的任何两个房间C和C'，存在W的唯一元素t(C，C')，使得集合或型的最小画廊具有末端C并且 C' 是 t(C, C') 的减少的分解的集合。

(WI 2) 对于任何室 C，从 I 室的集合到 W 的映射 C' $\mapsto t(C, C')$ 是满射。

e) 证明两个具有相同型且具有相同四肢的最小画廊是相同的。 （约化到证明，如果$(s_1, \ldots, s_n)$是减少的分解，并且如果$b_1, \ldots, b_n, b'_1, \ldots, b'_n$是B的元素，使得$b_1 \bar{s}_1 \ldots b_n \bar{s}_n \in b'_1 \bar{s}_1 \ldots b'_n \bar{s}_n B$，那么$b_1 \bar{s}_1 \in b'_1 \bar{s}_1 B$。为此，注，如果$\bar{s}_1^{-1} b_1^{-1} b'_1 \bar{s}_1 \notin B$，那么这个元素将属于转换为 Bs_1B，我们将得到 $b_2 \bar{s}_2 \ldots b_n \bar{s}_n \in b \bar{s}_1 b' b'_2 \bar{s}_2 \ldots b'_n \bar{s}_n B$ 和 $b, b' \in B$，这与 no. 4 的 Cor 1 相矛盾。）

f) 显示配备$\mathscr{C}$的I是一座建筑物，据说与对相关（G，B）。证明存在 I 的唯一编号（$§ 1$，Exerc.20），其中面的型是在 a) 中定义的。

g) 表明I是*宽敞的*，即I的每个面板至少包含在三个房间中（cf.$§ 1$，练习24）。证明满足以下条件：

(G) 给定面板 F、室 C、画廊 $\Gamma = (C_0, \ldots, C_n)$，使得 $F \subset C_n$ 和可能的最小的长度，以及室 $C'$ 和 $C''$ 包含于 F 并且与 $C_n$ 不同，存在元素 $g \in G$，使得 $g(C_i) = C_i$ 对应 $0 \leq i \leq n$ 和 $g(C') = C''$。

（约化对于$C_0 = C$的情况；令$u \in S$使得F为型$S - \{u\}$，并令s为$\Gamma$的型。证明$(s, u)$是约化的分解。取$h \in G$使得$C_n = h(C)$；存在$b'$和$b'' \in B$使得$C' = hb'u(C)$和$C'' = hb''u(C)$。然后使用no. 4的Th.2的Cor.1推广到Tits子群（cf.Exerc. 3 f)) 证明存在$b \in B$使得$bb'b'uB = hb''uB$；然后$b \in hBuBu^{-1}Bh^{-1} \subset (hBh^{-1}) \cup (hBuBh^{-1})$。如果 $b \in hBuBh^{-1}$，我们就会有 $BhB \subset BhBuB = BhuB$ (loc.cit.)，这是不可能的。因此 $b(C_{n'}) = C_n$ 和 e) 意味着 $b(C_i) = C_i$ 对于所有 $i$。）