Exercice 10, § 2

Soient G un groupe et B un sous-groupe de Tits de G. Reprenons les notations de l’exerc. 3. Pour s ∈ S, désignons par G^{(s)} le sous-groupe G_{S_{\{s\}}} (exerc. 3 g)). Soient I l’ensemble des parties de G de la forme gG^{(s)} (pour g ∈ G et s ∈ S), G l’ensemble des parties de I de la forme C_g = {gG^{(s)}|s ∈ S} pour g ∈ G. Les C_g sont appelées les chambres de I (§ 1, exerc. 15). On fait opérer G sur I grâce aux translations à gauche.

a) Soit G l’ensemble des facettes de I (c’est-à-dire des parties des chambres, cf. § 1, exerc. 15). Soit F ∈ G. Montrer qu’il existe une partie X de S et une seule et un élément g ∈ G tels que

$gG_X = \bigcap_{a \in F} a$; on dit que F est de type X. Montrer que F est alors l’ensemble des $gG^{(s)}$ pour $s \in S - X$ et est de codimension Card X dans toute chambre la contenant. Montrer que l’application $j : F \longmapsto \bigcap_{a \in F} a$ est une bijection strictement décroissante, compatible avec les translations à gauche, de G sur l’ensemble des parties de G de la forme $gG_X$ pour $g \in G$ et $X \subset S$. Montrer que toute facette de type X contient une facette de type Y et une seule pour $X \subset Y \subset S$.

b) Montrer que G opère transitiivement sur l’ensemble G des chambres et que le stabilisateur de la chambre C_g (g ∈ G) est égal à gB_g^{-1}; l’application g ↦ C_g définit donc une bijection de G/B sur G.

c) Montrer que deux chambres C_g et C_{g'} (g, g' ∈ G) sont mitoyennes (§ 1, exerc. 15) si et seulement si il existe s ∈ S tel que g' ∈ g(B ∪ BsB).

d) Soient C_1, ..., C_n des chambres de I et posons C_0 = C_e. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) la suite Γ = (C_0, C_1, ..., C_n) est une galerie injective;

(ii) il existe une suite s = (s_1, ..., s_n) d’éléments de S et une suite (b_1, ..., b_n) d’éléments de B telles que C_j = b_1 s_1 b_2 s_2 ... b_j s_j (C_0) (où s_j désigne un élément donné de la double classe Bs_jB) pour 1 ≤ j ≤ n.

Montrer que, si ces conditions sont satisfaites, la suite s est unique : on l’appelle le type de Γ et on la note s(Γ). Montrer qu’une galerie injective est minimale si et seulement si son type est une décomposition réduite. Montrer que les conditions suivantes sont vérifiées :

(WI 1) Quelles que soient les chambres C et C’ de I, il existe un élément t(C, C’) et un seul de W tel que l’ensemble des types des galeries minimales d’extrémités C et C’ soit l’ensemble des décompositions réduites de t(C, C’).

(WI 2) Pour toute chambre C, l’application t(C, C’) de l’ensemble des chambres de I dans W est surjective.

e) Montrer que deux galeries minimales de même type et de mêmes extrémités sont identiques. (On se ramènera à prouver que, si (s_1, ..., s_n) est une décomposition réduite et si b_1, ..., b_n, b'_1, ..., b'_n sont des éléments de B tels que b_1 s_1 ... b_n s_n ∈ b'_1 s'_1 ... b'_n s'_n B, alors b_1 s_1 ∈ b'_1 s'_1 B. Pour cela, on remarquera que si l’on avait s_1^{-1} b_1^{-1} b'_1 s'_1 ∈ B, cet élément appartiendrait à Bs_1B et on aurait b_2 s_2 ... b_n s_n ∈ b s_1 b' b'_2 s'_2 ... b'_n s'_n B avec b, b' ∈ B, ce qui contredirait le cor. 1 du th. 2 du n° 4.)

f) Montrer que I muni de G est un immeuble, dit associé au couple (G, B). Montrer qu’il existe un numérotage (§ 1, exerc. 20) de I et un seul pour lequel le type d’une facette est celui défini en a).

g) Montrer que I est spacieux, c’est-à-dire que toute cloison de I est contenue dans au moins trois chambres (cf. § 1, exerc. 24). Montrer que la condition suivante est satisfaite :

(G) Quelles que soient la cloison F, la chambre C_0, la galerie Γ = (C_0, ..., C_n) telle que F ⊂ C_n et de plus petite longueur possible, et les chambres C’ et C'' contenant F et distinctes de C_n, il existe un élément g ∈ G tel que g(C_i) = C_i pour 0 ≤ i ≤ n et g(C') = C''.

(On se ramènera au cas $C_0 = C$; soit $u \in S$ tel que $F$ soit de type $S - \{u\}$ et soit $s$ le type de $\Gamma$. Montrer que $(s, u)$ est une décomposition réduite. Prendre $h \in G$ tel que $C_n = h(C)$; il existe $b'$ et $b'' \in B$ tels que $C' = hb'u(C)$ et $C'' = hb''u(C)$. Utiliser alors le cor. 1 du th. 2 du n° 4 généralisé au cas d’un sous-groupe de Tits (cf. exerc. 3 f)) pour montrer qu’il existe $b \in B$ tel que $bhb'uB = hb''uB$; on a alors $b \in hBuBu^{-1}Bh^{-1} \subset (hBh^{-1}) \cup (hBuBh^{-1})$. Si $b \in hBuBh^{-1}$, on aurait $BhB \subset BhBuB = BhuB$ (loc. cit.) ce qui est impossible. Par suite $b(C_n) = C_n$, et e) entraîne $b(C_i) = C_i$ pour tout $i$)