Bài tập 10, § 2

Cho $G$ là một nhóm và $B$ là một nhóm con Tits của $G$. Ta sử dụng ký hiệu của Bài tập 3. Với $s \in S$, ký hiệu $G^{(s)}$ là nhóm con $G_{S-\{s\}}$ (Bài tập 3 g)). Gọi $I$ là tập hợp các tập con của $G$ có dạng $gG^{(s)}$ (với $g \in G$ và $s \in S$), và $\mathscr{C}$ là tập hợp các tập con của $I$ có dạng $C_g = \{ gG^{(s)} \mid s \in S \}$ với $g \in G$. Các $C_g$ được gọi là các buồng của $I$ (§ 1, Bài tập 15). Cho $G$ tác động lên $I$ bởi các phép dịch trái.

a) Gọi $\mathfrak{F}$ là tập hợp các diện của $I$ (nghĩa là các tập con của các buồng, xem § 1, Bài tập 15). Cho $F \in \mathfrak{F}$. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một tập con $X$ của $S$ và một phần tử $g \in G$ sao cho $gG_X = \bigcap_{a \in F} a$; $F$ được gọi là có kiểu $X$. Chứng minh rằng khi đó $F$ là tập hợp các $gG^{(s)}$ với $s \in S - X$ và có đối chiều $\mathrm{Card}(X)$ trong mọi buồng chứa nó. Chứng minh rằng ánh xạ $j : F \mapsto \bigcap_{a \in F} a$ là một song ánh giảm nghiêm ngặt, tương thích với các phép dịch trái, từ $\mathfrak{F}$ đến tập hợp các tập con của $G$ có dạng $gG_X$ với $g \in G$ và $X \subset S$. Chứng minh rằng, nếu $X \subset Y \subset S$, thì mọi diện kiểu $X$ chứa duy nhất một diện kiểu $Y$.

b) Chứng minh rằng $G$ tác động bắc cầu trên tập hợp $\mathscr{C}$ các buồng và rằng nhóm ổn định của buồng $C_g$ ($g \in G$) bằng $gB g^{-1}$; ánh xạ $g \mapsto C_g$ do đó xác định một song ánh từ $G/B$ đến $\mathscr{C}$.

c) Chứng minh rằng hai buồng $C_g$ và $C_{g'}$ ($g, g' \in G$) là kề nhau (§ 1, Bài tập 15) khi và chỉ khi tồn tại $s \in S$ sao cho $g' \in g(B \cup BsB)$.

d) Cho $C_1, \ldots, C_n$ là các phòng của $I$ và đặt $C_0 = C_e$. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: (i) dãy $\Gamma = (C_0, C_1, \ldots, C_n)$ là một đường đi đơn ánh; (ii) tồn tại một dãy $s = (s_1, \ldots, s_n)$ gồm các phần tử của $S$ và một dãy $(b_1, \ldots, b_n)$ gồm các phần tử của $B$ sao cho $C_j = b_1 \bar{s}_1 b_2 \bar{s}_2 \ldots b_j \bar{s}_j (C_0)$ (trong đó $\bar{s}_j$ biểu thị một phần tử đã cho của lớp kề kép $Bs_j B$) với $1 \leq j \leq n$.

Chứng minh rằng, nếu các điều kiện này được thỏa mãn, thì dãy s là duy nhất: khi đó nó được gọi là kiểu của $\Gamma$ và được ký hiệu bởi $s(\Gamma')$. Chứng minh rằng một đường đi đơn ánh là cực tiểu khi và chỉ khi kiểu của nó là một phân tích rút gọn. Chứng minh rằng các điều kiện sau được thỏa mãn:

(WI 1) Với hai phòng bất kỳ C và C' của I, tồn tại một phần tử duy nhất t(C, C') của W sao cho tập hợp các kiểu của các đường đi cực tiểu có các đầu mút C và C' là tập hợp các phân tích rút gọn của t(C, C').

(WI 2) Với mọi phòng C, ánh xạ C' $\mapsto t(C, C')$ từ tập hợp các phòng của I vào W là toàn ánh.

e) Chứng minh rằng hai đường đi cực tiểu cùng kiểu và có cùng các đầu mút là đồng nhất. (Rút gọn về việc chứng minh rằng, nếu $(s_1, \ldots, s_n)$ là một phân tích rút gọn và nếu $b_1, \ldots, b_n, b'_1, \ldots, b'_n$ là các phần tử của B sao cho $b_1 \bar{s}_1 \ldots b_n \bar{s}_n \in b'_1 \bar{s}_1 \ldots b'_n \bar{s}_n B$, thì $b_1 \bar{s}_1 \in b'_1 \bar{s}_1 B$. Về điều này, nhận xét rằng nếu $\bar{s}_1^{-1} b_1^{-1} b'_1 \bar{s}_1 \notin B$, thì phần tử này sẽ thuộc $Bs_1B$ và ta sẽ có $b_2 \bar{s}_2 \ldots b_n \bar{s}_n \in b \bar{s}_1 b' b'_2 \bar{s}_2 \ldots b'_n \bar{s}_n B$ với $b, b' \in B$, mâu thuẫn với Hệ quả 1 của Định lý 2 của no. 4.)

f) Chứng minh rằng $I$ được trang bị $\mathscr{C}$ là một tòa nhà, được gọi là liên kết với cặp (G, B). Chứng minh rằng tồn tại một cách đánh số duy nhất ($§ 1$, Exerc. 20) của I sao cho kiểu của một diện là kiểu đã định nghĩa trong a).

g) Chứng minh rằng I là rộng rãi, nghĩa là mọi panel của I được chứa trong ít nhất ba phòng (xem $§ 1$, Exerc. 24). Chứng minh rằng điều kiện sau được thỏa mãn:

(G) Cho một panel F, một phòng C, một đường đi $\Gamma = (C_0, \ldots, C_n)$ sao cho $F \subset C_n$ và có độ dài nhỏ nhất có thể, và các phòng $C'$ và $C''$ chứa F và phân biệt với $C_n$, tồn tại một phần tử $g \in G$ sao cho $g(C_i) = C_i$ với $0 \leq i \leq n$ và $g(C') = C''$.

(Rút gọn về trường hợp $C_0 = C$; lấy $u \in S$ sao cho F có kiểu $S - \{u\}$ và lấy s là kiểu của $\Gamma$. Chứng minh rằng $(s, u)$ là một phân tích rút gọn. Lấy $h \in G$ sao cho $C_n = h(C)$; tồn tại $b'$ và $b'' \in B$ sao cho $C' = hb'u(C)$ và $C'' = hb''u(C)$. Sau đó dùng Hệ quả 1 của Định lý 2 của no. 4 được tổng quát hóa cho trường hợp một nhóm con Tits (xem Exerc. 3 f)) để chứng minh rằng tồn tại $b \in B$ sao cho $bb'b'uB = hb''uB$; khi đó $b \in hBuBu^{-1}Bh^{-1} \subset (hBh^{-1}) \cup (hBuBh^{-1})$. Nếu $b \in hBuBh^{-1}$, ta sẽ có $BhB \subset BhBuB = BhuB$ (loc. cit.), điều này là không thể. Do đó $b(C_{n'}) = C_n$ và e) suy ra rằng $b(C_i) = C_i$ với mọi $i$.)