Bourbaki

习题 23, § 2

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李群与李代数, IV

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 (W,S)(W, S) 为 Coxeter 系统和 kk 交换环。假设对于所有s∈Ss \in S，给出kk的两个元素、λs\lambda_s和μs\mu_s，使得当ss和s′s'在WW中为共轭时，λs=λs′\lambda_s = \lambda_{s'}和μs=μs′\mu_s = \mu_{s'}。放入E=k(W)E = k^{(W)}，并令{ew}\{ e_w \}为EE的典范基。

a) 证明EE有唯一代数结构，使得对于s∈Ss \in S和w∈Ww \in W，

es⋅ew={eswif l(sw)>l(w)λsew+μseswif l(sw)<l(w) e_s \cdot e_w = \begin{cases} e_{sw} & \text{if } l(sw) > l(w) \\ \lambda_s e_w + \mu_s e_{sw} & \text{if } l(sw) < l(w) \end{cases}

(introduce the endomorphism PsP_s of EE defined by the above formulas, where es⋅ewe_s \cdot e_w is replaced by Ps(w)P_s(w), and the endomorphism Qs=jPsj−1Q_s = j P_s j^{-1}, where jj denotes the automorphism of EE defined by j(ew)=ew−1j(e_w) = e_{w^{-1}}; show that PsQt=QtPsP_s Q_t = Q_t P_s for s,t∈Ss, t \in S by remarking that the conditions l(swt)=l(w)l(swt) = l(w) and l(sw)=l(wt)l(sw) = l(wt) imply that sw=wtsw = wt; then argue as in Exerc. 3 c)). 模EE，配备此代数结构，将用Ek((λs),(μs))E_k((\lambda_s), (\mu_s))表示。 证明 E((0),(1))E((0), (1)) 是 WW 的群代数 k[W]k[W]（代数，第 III, § 2, no. 6 章）。

b) 证明生成元(es)s∈S(e_s)_{s \in S}和关系的家族

es2=λses+μsfor s∈S(eset)r=(etes)rfor s,t∈S such that st is of finite even order 2r(eset)res=(etes)retfor s,t∈S such that st is of finite odd order 2r+1 \begin{align*} e_s^2 &= \lambda_s e_s + \mu_s \quad \text{for } s \in S \\ (e_s e_t)^r &= (e_t e_s)^r \quad \text{for } s, t \in S \text{ such that } st \text{ is of finite even order } 2r \\ (e_s e_t)^r e_s &= (e_t e_s)^r e_t \quad \text{for } s, t \in S \text{ such that } st \text{ is of finite odd order } 2r + 1 \end{align*}

形式代数 EE 的呈现（如§ 1 no. 6 第 1 节证明中的论证）。

解答

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