Bài tập 23, § 2

Nhóm Lie và đại số Lie, IV

Cho $(W, S)$ là một hệ Coxeter và $k$ một vành giao hoán. Giả sử rằng với mọi $s \in S$ , ta được cho hai phần tử $\lambda_s$ và $\mu_s$ của $k$ sao cho $\lambda_s = \lambda_{s'}$ và $\mu_s = \mu_{s'}$ mỗi khi $s$ và $s'$ liên hợp trong $W$ . Đặt $E = k^{(W)}$ và gọi $\{ e_w \}$ là cơ sở chính tắc của $E$ .

a) Chứng minh rằng $E$ có một cấu trúc đại số duy nhất sao cho, với $s \in S$ và $w \in W$ ,

e_s \cdot e_w = \begin{cases} e_{sw} & \text{nếu } l(sw) > l(w) \\ \lambda_s e_w + \mu_s e_{sw} & \text{nếu } l(sw) < l(w) \end{cases}

(hãy đưa vào tự đồng cấu $P_s$ của $E$ được xác định bởi các công thức trên, trong đó $e_s \cdot e_w$ được thay bằng $P_s(w)$ , và tự đồng cấu $Q_s = j P_s j^{-1}$ , trong đó $j$ chỉ tự đẳng cấu của $E$ được xác định bởi $j(e_w) = e_{w^{-1}}$ ; chứng minh rằng $P_s Q_t = Q_t P_s$ với $s, t \in S$ bằng cách nhận thấy rằng các điều kiện $l(swt) = l(w)$ và $l(sw) = l(wt)$ kéo theo $sw = wt$ ; rồi lập luận như trong Bài tập 3 c)). Môđun $E$ , được trang bị cấu trúc đại số này, sẽ được ký hiệu là $E_k((\lambda_s), (\mu_s))$ . Chứng minh rằng $E((0), (1))$ là đại số nhóm $k[W]$ của $W$ (Đại số, Chap. III, § 2, no. 6).

b) Chứng minh rằng họ các phần tử sinh $(e_s)_{s \in S}$ và các quan hệ

\begin{align*} e_s^2 &= \lambda_s e_s + \mu_s \quad \text{với } s \in S \\ (e_s e_t)^r &= (e_t e_s)^r \quad \text{với } s, t \in S \text{ sao cho } st \text{ có cấp chẵn hữu hạn } 2r \\ (e_s e_t)^r e_s &= (e_t e_s)^r e_t \quad \text{với } s, t \in S \text{ sao cho } st \text{ có cấp lẻ hữu hạn } 2r + 1 \end{align*}

tạo thành một cách trình bày của đại số $E$ (lập luận như trong chứng minh của Định lý 1 của no. 6 của § 1).

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.