Exercice 23, § 2

Groupes et algèbres de Lie, IV

Soient $(W, S)$ un système de Coxeter et $k$ un anneau commutatif. On suppose donnés, pour tout $s \in S$ , deux éléments $\lambda_s$ et $\mu_s$ de $k$ , tels que $\lambda_s = \lambda_{s'}$ et $\mu_s = \mu_{s'}$ lorsque $s$ et $s'$ sont conjugués dans $W$ . Posons $E = k^{(w)}$ et soit $(e_w)$ la base canonique de $E$ .

a) Montrer qu’il existe sur $E$ une structure d’algèbre sur $k$ et une seule telle que l’on ait, pour $s \in S$ et $w \in W$ :

e_s \cdot e_w = \begin{cases} e_{sw} & \text{si } l(sw) > l(w) \\ \lambda_s e_w + \mu_s e_{sw} & \text{si } l(sw) < l(w) \end{cases}

(introduire l’endomorphisme $P_s$ de $E$ défini par les formules ci-dessus, où l’on remplace $e_s \cdot e_w$ par $P_s(w)$ , et l’endomorphisme $Q_s = jP_sj^{-1}$ , où $j$ désigne l’automorphisme de $E$ défini par $j(e_w) = e_{w-1}$ ; montrer que $P_s Q_t = Q_t P_s$ pour $s, t \in S$ en remarquant que les conditions $l(swt) = l(w)$ et $l(sw) = l(wt)$ entraînent $sw = wt$ ; raisonner ensuite comme dans l’exerc. 3 e)). Le module $E$ , muni de cette structure d’algèbre, sera noté $E_k((\lambda_s), (\mu_s))$ . Montrer que $E((0), (1))$ est l’algèbre $k[W]$ du groupe $W$ (Alg., chap. III, 3e éd., § 2, n° 6).

b) Montrer que la famille génératrice $(e_s)_{s \in S}$ et les relations :

\begin{align*} e_s^2 &= \lambda_s e_s + \mu_s \quad \text{pour } s \in S \\ (e_s e_t)^r &= (e_t e_s)^r \quad \text{pour } s, t \in S \text{ tels que } st \text{ soit d’ordre fini pair } 2r \\ (e_s e_t)^r e_s &= (e_t e_s)^r e_t \quad \text{pour } s, t \in S \text{ tels que } st \text{ soit d’ordre fini impair } 2r + 1 \end{align*}

forment une présentation de l’algèbre $E$ (raisonner comme pour la démonstration du th. 1 du n° 6 du § 1).

Solution

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