习题 12, § 2

令 (G, B, N, S) 为 Tits 系统，W = N/(B ∩ N) 其 Weyl 群，I 与 (G, B) 相关的 (W, S) 建筑（练习 10），C = C_e I 的规范室。令 A_0 为与 Coxeter 系统 (W, S) (§ 1, Exerc. 16) 关联的公寓。对于所有 g ∈ G，令 φ_g 为从 A_0 到 I 的映射，需要 A_0 (w ∈ W, s ∈ S) 的点 wW^{(s)} 到 I 的点 gwG^{(s)}。

证明，对于所有 g ∈ G，映射 φ_g 是 I 从 A_0 到子集编号建筑物的同构，即 n ∈ N 的房间 gn(C_e) 的并。证明 I，配备集合 Λ φ_g(A_0) 对于 g ∈ G，是一个结构化建筑 (§ 1，Exerc. 24) （证明 (SB 2), 注，如果 g', g'' ∈ G，则存在 b', b'' ∈ B 且 n ∈ N 使得 g'^{-1}g'' = b'nb''；然后将 g = g'b'n 并证明g'(C) 和 g''(C) 包含在 φ_g(A_0) 中。 为了证明 (SB 3)，约化对于两个公寓 A' = φ_e(A_0) 和

$A'' = \varphi_b(A_0)$，与$b \in B$，并证明映射$a \mapsto b(a)$留下$A' \cap A''$的点，通过使用no. 5的第2条命题固定）。证明 Coxeter 系统 $(W, S)$ 和 I 的编号适用于 $(I, \mathscr{U})$（§ 1，练习 24 e）），并且允许同构从 $A_0$ 到各种不同的集合 $\mathscr{J}$对于$g \in G$，$\mathscr{U}$的元素是$\varphi_g$的集合。