Exercice 12, § 2

Soient $(G, B, N, S)$ un système de Tits, $W = N/(B \cap N)$ son groupe de Weyl, I le $(W, S)$-immeuble associé à $(G, B)$ (exerc. 10) et $C = C_e$ la chambre canonique de I. Soit $A_0$ l’appartement associé au système de Coxeter $(W, S)$ (§ 1, exerc. 16). Pour tout $g \in G$, soit $\varphi_g$ l’application de $A_0$ dans I qui au point $wW^{(s)}$ de $A_0$ ($w \in W, s \in S$) fait correspondre le point $gwG^{(s)}$ de I.

Montrer que, pour tout $g \in G$, l’application $\varphi_g$ est un isomorphisme d’immeubles numérotés de $A_0$ sur un sous-immeuble de I qui est la réunion des chambres $gn(C_e)$ pour $n \in N$. Montrer que I, muni de l’ensemble $\mathscr{U}$ des $\varphi_g(A_0)$ pour $g \in G$, est un immeuble structuré (§ 1, exerc. 24) (pour démontrer (IS 2), on remarquera que, si $g', g'' \in G$, il existe $b', b'' \in B$ et $n \in N$ tels que ${g'}^{-1}g'' = b'nb''$; poser alors $g = g'b'n$ et montrer que $g'(C)$ et $g''(C)$ sont contenues dans $\varphi_g(A_0)$. Pour démontrer (IS 3), on se ramènera au cas de deux appartements $A' = \varphi_e(A_0)$ et $A'' = \varphi_b(A_0)$, avec $b \in B$, et on montrera que l’application $a \longmapsto b(a)$ laisse fixes les points de $A' \cap A''$ en utilisant la prop. 2 du n° 5). Montrer que le système de Coxeter $(W, S)$ et le numérotage de I sont adaptés à $(I, \mathscr{U})$ (§ 1, exerc. 24 e)) et que l’ensemble $\mathfrak{X}$ des isomorphismes permis de $A_0$ sur les divers éléments de $\mathscr{U}$ est l’ensemble des $\varphi_g$ pour $g \in G$.

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