Bài tập 12, § 2

Cho (G, B, N, S) là một hệ Tits, W = N/(B ∩ N) là nhóm Weyl của nó, I là nhà (W, S)-liên kết với (G, B) (Bài tập 10) và C = C_e là buồng chính tắc của I. Cho A_0 là căn hộ liên kết với hệ Coxeter (W, S) (§ 1, Bài tập 16). Với mọi g ∈ G, cho φ_g là ánh xạ từ A_0 vào I lấy một điểm wW^{(s)} của A_0 (w ∈ W, s ∈ S) thành điểm gwG^{(s)} của I.

Chứng minh rằng, với mọi g ∈ G, ánh xạ φ_g là một đẳng cấu của các nhà được đánh số từ A_0 vào một tập con của I là hợp của các buồng gn(C_e) với n ∈ N. Chứng minh rằng I, được trang bị tập hợp Λ gồm các φ_g(A_0) với g ∈ G, là một nhà có cấu trúc (§ 1, Bài tập 24) (để chứng minh (SB 2), nhận xét rằng, nếu g', g'' ∈ G, tồn tại b', b'' ∈ B và n ∈ N sao cho g'^{-1}g'' = b'nb''; khi đó đặt g = g'b'n và chứng minh rằng g'(C) và g''(C) được chứa trong φ_g(A_0). Để chứng minh (SB 3), rút gọn về trường hợp của hai căn hộ A' = φ_e(A_0) và

$A'' = \varphi_b(A_0)$, với $b \in B$, và chứng minh rằng ánh xạ $a \mapsto b(a)$ giữ cố định các điểm của $A' \cap A''$ bằng cách sử dụng Mệnh đề 2 của no. 5). Chứng minh rằng hệ Coxeter $(W, S)$ và phép đánh số của I là thích nghi với $(I, \mathscr{U})$ (§ 1, Bài tập 24 e)) và rằng tập hợp $\mathscr{J}$ các đẳng cấu được phép từ $A_0$ đến các phần tử khác nhau của $\mathscr{U}$ là tập hợp các $\varphi_g$ với $g \in G$.