习题 8, § 2

设$(G, B, N, S)$为山雀系统；输入$T = B \cap N$和$W = N/T$。令 $\tilde{G}$ 为群包含 G 作为正常的子群。假设对于所有$h \in \tilde{G}$，存在$g \in G$使得$hBh^{-1} = gBg^{-1}$和$hNh^{-1} = gNg^{-1}$。令$\hat{B}$（或$\hat{N}$）为$\tilde{G}$中B（或N）的归一化器；输入 $\Gamma = \hat{B} \cap \hat{N}$、$\tilde{N} = \Gamma N$ 和 $\tilde{T} = \tilde{N} \cap B$。

a) 显示$\tilde{G} = \Gamma.G$、$\hat{B} = \Gamma.B$、$\Gamma \cap B = \Gamma \cap G$ 和$\tilde{T} = (\Gamma \cap B).T$。因此，群 $\Omega = \Gamma/(\Gamma \cap B)$、$\tilde{G}/G$ 和 $\hat{B}/B$ 是规范同构的。如果$\Phi \subset \Omega$并且H是G包含$\Gamma \cap B$的子群，我们用子集$\varphi H$的$\Phi H$并来表示$\varphi \in \Phi$。

b) 证明 $\tilde{T}$ 在 $\tilde{N}$ 中是正常的（要证明 $n \gamma n^{-1} \in \tilde{N}$ 对于 $n \in \tilde{N}$ 和 $\gamma \in \Gamma \cap B$，请使用练习 5 a)），$N \cap \tilde{T} = T$ 和 $\Gamma \cap \tilde{T} = \Gamma \cap B$。 N（对应$\Gamma$）的单射进入$\tilde{N}$，因此允许W（对应$\Omega$）与$\tilde{W} = \tilde{N}/\tilde{T}$的子群进行识别。证明 $\Omega$ 归一化 S，$\tilde{W}$ 是 $\Omega$ 和 W 的半直接乘积。

c) 表明，对于所有 $s \in S$ 和所有 $u \in \tilde{W}$，

d) 证明映射$u \mapsto BuB$是从$\tilde{W}$到$B \setminus \tilde{G}/B$的双射（使用Th.1和$\Gamma$归一化B的事实）。

e) 令$\mathscr{B}$为对$(\Phi, X)$的集合，其中$\Phi$为$\Omega$的子群，X为通过$\Phi$归一化的X的子集。把$G_{(\Phi, X)} = \Phi G_X = B \Phi W_X B$（与no. 5的记号）。证明从$\tilde{G}$包含子群到$\mathscr{B}$到集合映射$(\Phi, X) \mapsto G_{(\Phi, X)}$是双射 B. 推广Th的断言b)和c)。 3 和 no. 5 的提案 2。

证明$\tilde{G}$中$G_{(\Phi, X)}$的归一化器是子群$G_{(\Phi', X)}$，其中$\Phi'$是对$\Phi$和X进行归一化的$\Omega$的元素的集合。

f) 证明$G_{(\Phi, X)}$是$\tilde{G}$的最大子群当且仅当满足以下两个条件之一：

(i) $X = S$和$\Phi$是$\Omega$的最大子群；

(ii) $\Phi = \Omega$ 和 $\Phi$ 传递作用于$S - X$（非空）。

证明$G_{(\Phi, X)}$是$\tilde{G}$子群集合中的最大子群而不是包含$G$当且仅当

(iii) $X \neq S$、$\Phi$是$X$在$\Omega$中的归一化器，并且传递地作用于$S - X$。

g) 令$\Phi$为$\Omega$的正常子群，并放入$G' = \Phi G$、$B' = \Phi B$、$N' = \Phi N$和$T' = B' \cap N'$。证明 $T' = \Phi \tilde{T}$ 和 $T'$ 在 $N'$ 中是正规的，当且仅当 $\Phi$ 的每一个元素与 $W$ 的每一个元素通勤。证明$G'$在$\tilde{G}$中是正常的，$N$的单射进入$N'$定义同构$j$从$W$到$W' = N'/T'$以及$(G', B', N', S')$（与$S' = j(S)$）是山雀系统。