Bài tập 8, § 2

Cho $(G, B, N, S)$ là một hệ Tits; đặt $T = B \cap N$ và $W = N/T$. Cho $\tilde{G}$ là một nhóm chứa G như một nhóm con chuẩn tắc. Giả sử rằng với mọi $h \in \tilde{G}$, tồn tại $g \in G$ sao cho $hBh^{-1} = gBg^{-1}$ và $hNh^{-1} = gNg^{-1}$. Gọi $\hat{B}$ (tương ứng $\hat{N}$) là chuẩn hoá tử của B (tương ứng của N) trong $\tilde{G}$; đặt $\Gamma = \hat{B} \cap \hat{N}$, $\tilde{N} = \Gamma N$ và $\tilde{T} = \tilde{N} \cap B$.

a) Chứng minh rằng $\tilde{G} = \Gamma.G$, $\hat{B} = \Gamma.B$, $\Gamma \cap B = \Gamma \cap G$ và $\tilde{T} = (\Gamma \cap B).T$. Do đó các nhóm $\Omega = \Gamma/(\Gamma \cap B)$, $\tilde{G}/G$ và $\hat{B}/B$ đẳng cấu chính tắc. Nếu $\Phi \subset \Omega$ và nếu H là một nhóm con của G chứa $\Gamma \cap B$, ta ký hiệu bởi $\Phi H$ hợp của các tập con $\varphi H$ với $\varphi \in \Phi$.

b) Chứng minh rằng $\tilde{T}$ là chuẩn tắc trong $\tilde{N}$ (để chứng minh rằng $n \gamma n^{-1} \in \tilde{N}$ với $n \in \tilde{N}$ và $\gamma \in \Gamma \cap B$, dùng Bài tập 5 a)), rằng $N \cap \tilde{T} = T$ và rằng $\Gamma \cap \tilde{T} = \Gamma \cap B$. Do đó đơn ánh từ N (tương ứng từ $\Gamma$) vào $\tilde{N}$ cho phép đồng nhất W (tương ứng $\Omega$) với một nhóm con của $\tilde{W} = \tilde{N}/\tilde{T}$. Chứng minh rằng $\Omega$ chuẩn hoá S và $\tilde{W}$ là tích nửa trực tiếp của $\Omega$ và W.

c) Chứng minh rằng, với mọi $s \in S$ và mọi $u \in \tilde{W}$,

d) Chứng minh rằng ánh xạ $u \mapsto BuB$ là một song ánh từ $\tilde{W}$ lên $B \setminus \tilde{G}/B$ (dùng Định lý 1 và việc $\Gamma$ chuẩn hoá B).

e) Gọi $\mathscr{B}$ là tập hợp các cặp $(\Phi, X)$, trong đó $\Phi$ là một nhóm con của $\Omega$ và X là một tập con của X được $\Phi$ chuẩn hoá. Đặt $G_{(\Phi, X)} = \Phi G_X = B \Phi W_X B$ (theo ký hiệu của no. 5). Chứng minh rằng ánh xạ $(\Phi, X) \mapsto G_{(\Phi, X)}$ là một song ánh từ $\mathscr{B}$ lên tập hợp các nhóm con của $\tilde{G}$ chứa B. Khái quát hoá các khẳng định b) và c) của Định lý 3 và Mệnh đề 2 của no. 5.

Chứng minh rằng chuẩn hóa tử của $G_{(\Phi, X)}$ trong $\tilde{G}$ là nhóm con $G_{(\Phi', X)}$, trong đó $\Phi'$ là tập hợp các phần tử của $\Omega$ chuẩn hóa cả $\Phi$ lẫn X.

f) Chứng minh rằng $G_{(\Phi, X)}$ là một nhóm con cực đại của $\tilde{G}$ khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) $X = S$ và $\Phi$ là một nhóm con cực đại của $\Omega$;

(ii) $\Phi = \Omega$ và $\Phi$ tác động bắc cầu trên $S - X$ (tập hợp này khác rỗng).

Chứng minh rằng $G_{(\Phi, X)}$ là một nhóm con cực đại trong tập hợp các nhóm con của $\tilde{G}$ không chứa $G$ khi và chỉ khi

(iii) $X \neq S$, $\Phi$ là chuẩn hóa tử của $X$ trong $\Omega$ và tác động bắc cầu trên $S - X$.

g) Cho $\Phi$ là một nhóm con chuẩn tắc của $\Omega$ và đặt $G' = \Phi G$, $B' = \Phi B$, $N' = \Phi N$ và $T' = B' \cap N'$. Chứng minh rằng $T' = \Phi \tilde{T}$ và $T'$ là chuẩn tắc trong $N'$ khi và chỉ khi mọi phần tử của $\Phi$ đều giao hoán với mọi phần tử của $W$. Chứng minh rằng khi đó $G'$ là chuẩn tắc trong $\tilde{G}$, rằng đơn ánh từ $N$ vào $N'$ xác định một đẳng cấu $j$ từ $W$ lên $W' = N'/T'$ và rằng $(G', B', N', S')$ (với $S' = j(S)$) là một hệ Tits.