Exercice 8, § 2

Soit $(G, B, N, S)$ un système de Tits; on pose $T = B \cap N$ et $W = N/T$. Soit $\tilde{G}$ un groupe contenant $G$ comme sous-groupe distingué. On suppose que pour tout $h \in \tilde{G}$, il existe $g \in G$ tel que $hBh^{-1} = gBg^{-1}$ et $hNh^{-1} = gNg^{-1}$. Soit $\hat{B}$ (resp. $\hat{N}$) le normalisateur de $B$ (resp. $N$) dans $\tilde{G}$; on pose $\Gamma = \hat{B} \cap \hat{N}$, $\tilde{N} = \Gamma . N$ et $\tilde{T} = \tilde{N} \cap B$.

a) Montrer que $\tilde{G} = \Gamma . G$, $\hat{B} = \Gamma . B$, $\Gamma \cap B = \Gamma \cap G$ et $\tilde{T} = (\Gamma \cap B) . T$. Les groupes $\Omega = \Gamma /(\Gamma \cap B)$, $\tilde{G}/G$ et $\hat{B}/B$ sont donc canoniquement isomorphes. Si $\Phi \subset \Omega$ et si $H$ est un sous-groupe de $G$ contenant $\Gamma \cap B$, on notera $\Phi H$ la réunion des ensembles $\varphi H$ pour $\varphi \in \Phi$.

b) Montrer que $\tilde{T}$ est distingué dans $\tilde{N}$ (pour montrer que $n \gamma n^{-1} \in \tilde{T}$ pour $n \in \tilde{N}$ et $\gamma \in \Gamma \cap B$, utiliser l’exerc. 5 a)), que $N \cap \tilde{T} = T$ et que $\Gamma \cap \tilde{T} = \Gamma \cap B$. L’injection de $N$ (resp. $\Gamma$) dans $\tilde{N}$ permet donc d’identifier $W$ (resp. $\Omega$) à un sous-groupe de $\tilde{W} = \tilde{N}/\tilde{T}$. Montrer que $\Omega$ normalise $S$ et que $\tilde{W}$ est produit semi-direct de $\Omega$ et de $W$.

c) Montrer que, pour tout $s \in S$ et tout $u \in \tilde{W}$, on a :

d) Montrer que l’application $u \mapsto BuB$ est une bijection de $\tilde{W}$ sur $B|\tilde{G}/B$ (utiliser le th. 1 et le fait que $\Gamma$ normalise $B$).

e) Soit $\mathfrak{P}$ l’ensemble des couples $(\Phi, X)$, où $\Phi$ est un sous-groupe de $\Omega$ et $X$ une partie de $S$ normalisée par $\Phi$. On pose $G_{(\Phi, X)} = \Phi G_X = B \Phi W_X B$ (avec les notations du no 5). Montrer que l’application $(\Phi, X) \mapsto G_{(\Phi, X)}$ est une bijection de $\mathfrak{P}$ sur l’ensemble des sous-groupes de $\tilde{G}$ contenant $B$. Généraliser les assertions b) et c) du th. 3 et la prop. 2 du no 5.

Montrer que le normalisateur de $G_{(\Phi, X)}$ dans $\tilde{G}$ est le sous-groupe $G_{(\Phi', X)}$, où $\Phi'$ est l’ensemble des éléments de $\Omega$ normalisant à la fois $\Phi$ et $X$.

f) Montrer que $G_{(\Phi, X)}$ est un sous-groupe maximal de $\tilde{G}$ si et seulement si l’une des deux conditions suivantes est satisfaite :

(i) $X = S$ et $\Phi$ est un sous-groupe maximal de $\Omega$;

(ii) $\Phi = \Omega$ et $\Phi$ opère transitivement sur $S - X$ (qui est non vide).

Montrer que $G_{(\Phi, X)}$ est un sous-groupe maximal dans l’ensemble des sous-groupes de $\tilde{G}$ ne contenant pas $G$ si et seulement si l’on a :

(iii) $X \neq S$, $\Phi$ est le normalisateur de $X$ dans $\Omega$ et opère transitivement sur $S - X$.

g) Soit $\Phi$ un sous-groupe distingué de $\Omega$ et posons $G' = \Phi G$, $B' = \Phi B$, $N' = \Phi N$ et $T' = B' \cap N'$. Montrer que $T' = \Phi \tilde{T}$ et que $T'$ est distingué dans $N'$ si et seulement si tout élément de $\Phi$ commute avec tout élément de $W$. Montrer que $G'$ est alors distingué dans $\tilde{G}$, que l’injection de $N$ dans $N'$ définit un isomorphisme $j$ de $W$ sur $W' = N'/T'$ et que $(G', B', N', S')$ (avec $S' = j(S)$) est un système de Tits.