习题 13, § 10

令 E 为维数 $\geqslant 2$ 的右向量空间和 E 的 $H_0$ 超平面。

(a) 证明每个自同构 u 属于到 F(E) (习题 12) 都是 $\mathbf{SL}(E)$ 的自同构的乘积，并且可能是超平面 $H_0$ 的扩张（在余维上继续进行归纳） $1_E - u$、利用习题 12(a) 和 12(f)) 中的核。

(b) 证明 F(E) 的 $\mathbf{SL}(E)$ 包含换位子群与此群相同，除非 E 是维数 2 的空间超过域和 2 元素。 （要证明 F(E) 的 $\mathbf{SL}(E)$ 包含换位子群，请使用 (a) 和习题 12(f)。要查看 $\mathbf{SL}(E)$ 包含在 F(E) 的换位子群中，除所示情况外，请证明对于每个F(E) 的同态转换为横流交换的群、像为单位元素、利用习题 11(b) 和 12(c)。）

(c) 证明 $\mathbf{SL}(E)$ 等于其换位子群，除非当暗淡 E = 2 并且 K 有 2 或 3 元素时。 （如果昏暗 E $\geqslant 3$，注，则每个横断面 u 都可以写成 $vvw^{-1}w^{-1}$，其中 v 是横断面，$w \in \mathbf{SL}(E)$，利用习题 12(d)。如果昏暗 E = 2，注首先，每个自同构 u 的矩阵相对于E 的基是形式 $\begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix}$ 是横流的乘积，如 (a) 中所述；然后考虑换位子 $uvu^{-1}v^{-1}$，其中 v 是横流，其矩阵相对于相同的基为$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。）