Bourbaki

习题 3, § 2

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李群与李代数, IV

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

设 G 为 G 的群、B 子群以及 (C(w))_{w∈W} G 相对于 B 的双陪集族。如果存在 W 的子集 S，则 B 称为 G 的 Tits 子群，使得以下条件满意：

(1) s ∈ S 生成 G 的C(s)中的并； (2) 对于所有 s ∈ S，在 B ∪ C(s) 中，集合 B ∪ C(s) 是 G 的子群，B 的指标 ≥ 3； (3) 对于所有 s ∈ S 且所有 w ∈ W，存在元素 w' ∈ W 使得 C(s).C(w) ⊂ C(w) ∪ C(w')。

从现在开始，我们假设 B 是 G 的 Tits 子群，并且我们得到 W 满足条件 (1)、(2) 和 (3) 的子集 S。

a) 证明 C(s)^{-1} = C(s) 且 C(s).C(s) = B ∪ C(s) 对于所有 s ∈ S。证明，对于所有 s ∈ S 和所有 w ∈ W，存在元素 w'' ∈ W 使得 C(w).C(s) ⊂ C(w) ∪ C(w'')。

b) 如果 w ∈ W，w 的长度，用 l(w) 表示，为最小的整数 n ≥ 0，其中存在 s_1, ..., s_n ∈ S 且 C(w) ⊂ C(s_1)...C(s_n)。证明 l(w) 对于所有 w ∈ W 是有限的。

令 u, v ∈ W 且 l(u) < l(v) 且令 s ∈ S。证明，如果 C(v) ⊂ C(u).C(s) （分别为 C(v) ⊂ C(s).C(u)），则C(v) = C(u).C(s)（分别，C(v) = C(s).C(u)）（通过归纳对u的长度进行论证。如果C(v) ≠ C(u).C(s)，则 C(u).C(s) = C(u) ∪ C(v)。利用归纳假设，证明存在 t ∈ S 和 w ε W 使得

C(u)=C(t).C(w)withl(w)=l(u)−1. C(u) = C(t).C(w) \quad \text{with} \quad l(w) = l(u) - 1.

从关系 C(v) ⊂ C(u).C(s) = C(t).C(w).C(s) 和 C(t).C(w) = C(u) ≠ C(v)，推导出元素 w' ≠ w 的存在性使得

C(w′)⊂C(w).C(s)C(w') \subset C(w).C(s) 和C(v)⊂C(t).C(w′)C(v) \subset C(t).C(w')，所以l(w′)≥l(v)−1>l(u)−1=l(w)l(w') \geq l(v) - 1 > l(u) - 1 = l(w)。 归纳假设现在意味着

C(w′)=C(w).C(s). C(w') = C(w).C(s).

而且，

C(t).C(u).C(s)=C(t).C(t).C(w).C(s)=C(t).C(w).C(s)∪C(w).C(s)=C(u).C(s)∪C(w′)=C(u)∪C(v)∪C(w′) \begin{align*} C(t).C(u).C(s) &= C(t).C(t).C(w).C(s) = C(t).C(w).C(s) \cup C(w).C(s) \\ &= C(u).C(s) \cup C(w') = C(u) \cup C(v) \cup C(w') \end{align*}

还有

C(t).C(u).C(s)=C(t).(C(u)∪C(v))⊃C(t).C(t).C(w)⊃C(w), C(t).C(u).C(s) = C(t).(C(u) \cup C(v)) \supset C(t).C(t).C(w) \supset C(w),

这是自w≠u,v,w′w \neq u, v, w'以来的矛盾。

c) 表明，对于所有w∈Ww \in W和所有s∈Ss \in S，存在唯一元素，用s.ws.w（分别为w∗sw * s）表示，与ww不同，并且使得

C(s.w)⊂C(s).C(w)⊂C(w)∪C(s.w)(resp. C(w∗s)⊂C(w).C(s)⊂C(w)∪C(w∗s)). \begin{align*} C(s.w) &\subset C(s).C(w) \subset C(w) \cup C(s.w) \\ (\text{resp. } C(w * s) &\subset C(w).C(s) \subset C(w) \cup C(w * s)). \end{align*}

（由归纳在l(w)l(w)上显示C(s).C(w)≠C(w)C(s).C(w) \neq C(w)。为此，写

C(w)=C(u).C(t) C(w) = C(u).C(t)

与 t∈S,u∈Wt \in S, u \in W 和 l(w)=l(u)+1l(w) = l(u) + 1。如果C(s).C(w)=C(w)C(s).C(w) = C(w)，那么

C(s).C(u).C(t)=C(u).C(t) C(s).C(u).C(t) = C(u).C(t)

右边乘以C(t)C(t)，我们得到C(u)∪C(w)=C(s).C(u)∪C(w)C(u) \cup C(w) = C(s).C(u) \cup C(w)。从C(u)≠C(s).C(u)C(u) \neq C(s).C(u)到归纳假设，我们有，通过b)，

C(s).C(u)=C(w), C(s).C(u) = C(w),

因此

C(u)⊂C(s).C(s).C(u)=C(s).C(w)=C(w), C(u) \subset C(s).C(s).C(u) = C(s).C(w) = C(w),

这是荒谬的）。

d) 设 s∈Ss \in S。证明映射 ps:w↦s.wp_s : w \mapsto s.w（分别为 qs:w↦w∗sq_s : w \mapsto w * s）是 WW 的置换，以及 ps2=Idp_s^2 = \mathrm{Id}（分别为 qs2=Idq_s^2 = \mathrm{Id}）。对所有 s,t∈Ss, t \in S 显示 ps∘qt=qt∘psp_s \circ q_t = q_t \circ p_s （研究 w∈Ww \in W 的乘积 C(s).C(w).C(t)C(s).C(w).C(t) 并显示 (s.w)∗t∈{w,s.w,w∗t,s.(w∗t)}(s.w)*t \in \{w, s.w, w*t, s.(w*t)\}；显示 (s.w)∗t∉{s.w,w∗t}(s.w)*t \notin \{s.w, w*t\} 以及如果 (s.w)∗t=w(s.w)*t = w 则 s.w=w∗ts.w = w*t 和 w=s.(w∗t)w = s.(w*t)）。

e) 表明置换 PP（或QQ）由psp_s（或qsq_s）生成的s∈Ss \in S 的群在WW 上简单传递（以表明PP 是传递的，使用 (2) 并如引理 1 of no. 1 中那样论证；要证明 PP 是简单传递的，请使用 d))。推断 WW 有唯一群结构，使得映射 p↦p(e)p \mapsto p(e)（其中 e 表示 W 的元素，使得 B = C(e)）从 P 到 W 为同构。 映射 q ↦ q(e) 也等于同构；此外，对于所有 s ∈ S 和所有 w ∈ W 以及 C(w)^{-1} = C(w^{-1})，s.w = w \* s = sw。

f) 证明对 (W, S) 是 Coxeter 系统并推广 no. 4 的结果。

g) 令 X 为 S 的子集，并且由 X 生成的 WX 子群。证明 w ∈ WX 的 C(w) 的并 G_X 是 G 的子群，并且 Th。 no. 5 中的 3 仍然正确。证明 B 是 G_X 的山雀子群。概括道具。 no. 5 的 2 和 3，以及 Def。 2、提案 4 和 Th。 4 个no. 6。证明 S 是 w ∈ W 的集合，使得 B ∪ C(w) 是与 B 不同的 G 的子群。因此，Coxeter 系统 (W, S) 和群 W（称为 (G, B) 的 Weyl 群）因此仅依赖于 (G, B）。

h) 令 N 为 G 的子群，使得 B ∩ N 在 N 中是正规的，且交，其中关于 B 的每个双陪集 C(w) 的 N 是关于 B ∩ N 的双陪集。证明群 N/(B ∩ N) 可以与 W 等同，并且 (G, B, N, S) 是一个山雀系统。

解答

尚未写出解答。

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