Bài tập 3, § 2

Cho G là một nhóm, B là một nhóm con của G và (C(w))_{w∈W} là họ các lớp kép của G đối với B. Khi đó B được gọi là một nhóm con Tits của G nếu tồn tại một tập con S của W sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:

(1) hợp của các C(s) với s ∈ S sinh ra G; (2) với mọi s ∈ S, tập hợp B ∪ C(s) là một nhóm con của G và chỉ số của B trong B ∪ C(s) là ≥ 3; (3) với mọi s ∈ S và mọi w ∈ W, tồn tại một phần tử w' ∈ W sao cho C(s).C(w) ⊂ C(w) ∪ C(w').

Từ bây giờ ta giả sử rằng B là một nhóm con Tits của G và rằng ta được cho một tập con S của W thỏa mãn các điều kiện (1), (2) và (3).

a) Chứng minh rằng C(s)^{-1} = C(s) và C(s).C(s) = B ∪ C(s) với mọi s ∈ S. Chứng minh rằng, với mọi s ∈ S và mọi w ∈ W, tồn tại một phần tử w'' ∈ W sao cho C(w).C(s) ⊂ C(w) ∪ C(w'').

b) Nếu w ∈ W, độ dài của w, ký hiệu là l(w), là số nguyên nhỏ nhất n ≥ 0 sao cho tồn tại s_1, ..., s_n ∈ S với C(w) ⊂ C(s_1)...C(s_n). Chứng minh rằng l(w) là hữu hạn với mọi w ∈ W.

Cho u, v ∈ W với l(u) < l(v) và cho s ∈ S. Chứng minh rằng, nếu C(v) ⊂ C(u).C(s) (resp. C(v) ⊂ C(s).C(u)), thì C(v) = C(u).C(s) (resp, C(v) = C(s).C(u)) (lập luận bằng quy nạp theo độ dài của u. Nếu C(v) ≠ C(u).C(s), thì C(u).C(s) = C(u) ∪ C(v). Bằng cách dùng giả thiết quy nạp, chứng minh rằng tồn tại t ∈ S và w ∈ W sao cho

Từ các quan hệ C(v) ⊂ C(u).C(s) = C(t).C(w).C(s) và C(t).C(w) = C(u) ≠ C(v), suy ra sự tồn tại của một phần tử w' ≠ w sao cho

$C(w') \subset C(w).C(s)$ and $C(v) \subset C(t).C(w')$, nên $l(w') \geq l(v) - 1 > l(u) - 1 = l(w)$. Giả thiết quy nạp khi đó kéo theo rằng

Hơn nữa,

và cũng có

điều này là mâu thuẫn vì $w \neq u, v, w'$.

c) Chứng minh rằng, với mọi $w \in W$ và mọi $s \in S$, tồn tại một phần tử duy nhất, ký hiệu là $s.w$ (resp, $w * s$), phân biệt với $w$ và sao cho

(Chứng minh bằng quy nạp theo $l(w)$ rằng $C(s).C(w) \neq C(w)$. Để làm điều đó, viết

với $t \in S, u \in W$ và $l(w) = l(u) + 1$. Nếu $C(s).C(w) = C(w)$, thì

và nhân bên phải với $C(t)$, ta được rằng $C(u) \cup C(w) = C(s).C(u) \cup C(w)$. Vì $C(u) \neq C(s).C(u)$ theo giả thiết quy nạp, theo b), ta có

và do đó

điều này là vô lý).

d) Cho $s \in S$. Chứng minh rằng ánh xạ $p_s : w \mapsto s.w$ (resp. $q_s : w \mapsto w * s$) là một phép hoán vị của $W$ và rằng $p_s^2 = \mathrm{Id}$ (resp. $q_s^2 = \mathrm{Id}$). Chứng minh rằng $p_s \circ q_t = q_t \circ p_s$ với mọi $s, t \in S$ (xét tích $C(s).C(w).C(t)$ với $w \in W$ và chứng minh rằng $(s.w)*t \in \{w, s.w, w*t, s.(w*t)\}$; chứng minh rằng $(s.w)*t \notin \{s.w, w*t\}$ và rằng nếu $(s.w)*t = w$ thì $s.w = w*t$ và $w = s.(w*t)$).

e) Chứng minh rằng nhóm các phép hoán vị $P$ (resp. $Q$) được sinh bởi các $p_s$ (resp. $q_s$) với $s \in S$ tác động đơn bắc cầu trên $W$ (để chứng minh rằng $P$ là bắc cầu, dùng (2) và lập luận như trong Bổ đề 1 của no. 1; để chứng minh rằng $P$ là đơn bắc cầu, dùng d)). Suy ra rằng $W$ có một cấu trúc nhóm duy nhất sao cho ánh xạ $p \mapsto p(e)$ (trong đó e ký hiệu phần tử của W sao cho B = C(e)) là một đẳng cấu từ P lên W. Khi đó ánh xạ q ↦ q(e) cũng là một đẳng cấu; hơn nữa, s.w = w \* s = sw với mọi s ∈ S và mọi w ∈ W và C(w)^{-1} = C(w^{-1}).

f) Chứng minh rằng cặp (W, S) là một hệ Coxeter và tổng quát hóa các kết quả của no. 4.

g) Cho X là một tập con của S và WX là nhóm con của W sinh bởi X. Chứng minh rằng hợp G_X của các C(w) với w ∈ WX là một nhóm con của G và rằng Th. 3 của no. 5 vẫn còn đúng. Chứng minh rằng B là một nhóm con Tits của G_X. Tổng quát hóa các Mệnh đề 2 và 3 của no. 5, và Định nghĩa 2, Mệnh đề 4 và Định lý 4 của no. 6. Chứng minh rằng S là tập hợp các w ∈ W sao cho B ∪ C(w) là một nhóm con của G phân biệt với B. Do đó, hệ Coxeter (W, S) và nhóm W (được gọi là nhóm Weyl của (G, B)) chỉ phụ thuộc vào (G, B).

h) Cho N là một nhóm con của G sao cho B ∩ N là chuẩn tắc trong N và sao cho giao với N của mỗi lớp kép C(w) đối với B là một lớp kép đối với B ∩ N. Chứng minh rằng nhóm N/(B ∩ N) có thể được đồng nhất với W và rằng (G, B, N, S) là một hệ Tits.