Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。
§ 6。 扩张，可溶解群，惰性群
在本段中，群运算、除非（另有明确提及）均以乘法书写。
1. Extensions
令F F F G G G G G G F F F E = ( E , i , p ) \mathscr{E} = (E, i, p) E = ( E , i , p ) E E E F F F i i i E E E p p p E E E G G G Im ( i ) = Ker ( p ) \operatorname{Im}(i) = \operatorname{Ker}(p) Im ( i ) = Ker ( p ) s : G → E s : G \to E s : G → E r : E → F r : E \to F r : E → F p ∘ s = Id G p \circ s = \operatorname{Id}_G p ∘ s = Id G r ∘ i = Id F r \circ i = \operatorname{Id}_F r ∘ i = Id F E \mathscr{E} E
F F F G G G E = ( E , i , p ) \mathscr{E} = (E, i, p) E = ( E , i , p ) E : F → i E → p G \mathscr{E} : F \xrightarrow{i} E \xrightarrow{p} G E : F i E p G i i i p p p E E E F F F G G G
对于群E E E G G G F F F F ′ F' F ′ F F F E / F ′ E/F' E / F ′ G G G
如果像i ( F ) i(F) i ( F ) E E E E : F → i E → p G \mathscr{E} : F \xrightarrow{i} E \xrightarrow{p} G E : F i E p G F F F
令E : F → i E → p G \mathscr{E} : F \xrightarrow{i} E \xrightarrow{p} G E : F i E p G E ′ : F → i ′ E ′ → p ′ G \mathscr{E}' : F \xrightarrow{i'} E' \xrightarrow{p'} G E ′ : F i ′ E ′ p ′ G G G G F F F E \mathscr{E} E E ′ \mathscr{E}' E ′ u : E → E ′ u : E \to E' u : E → E ′ p ′ ∘ u = p p' \circ u = p p ′ ∘ u = p u ∘ i = i ′ u \circ i = i' u ∘ i = i ′
E i F → i ′ E ′ ↓ ↓ E p G
\begin{array}{ccc}
& & E \\
& i & \\
F & \xrightarrow{i'} & E' \\
& \downarrow & \downarrow \\
& & E \\
& p & \\
& & G
\end{array}
F i i ′ ↓ p E E ′ ↓ E G u ↑ and p ′ ↑
u \uparrow \quad \text{and} \quad p' \uparrow
u ↑ and p ′ ↑
设E : F → i E → p G \mathscr{E}: F \xrightarrow{i} E \xrightarrow{p} G E : F i E p G E ′ : F → i ′ E ′ → p ′ G \mathscr{E}': F \xrightarrow{i'} E' \xrightarrow{p'} G E ′ : F i ′ E ′ p ′ G G G G F F F u : E → E ′ u: E \to E' u : E → E ′ E \mathscr{E} E E ′ \mathscr{E}' E ′ u u u E E E E ′ E' E ′ u − 1 u^{-1} u − 1 E ′ \mathscr{E}' E ′ E \mathscr{E} E
引用了 1 · 被以下引用 1 引用了 推论 1, I § 4
被以下引用 VIII § 16. 。 布劳尔群中的其他描述
令x ∈ E x \in E x ∈ E u ( x ) = e u(x) = e u ( x ) = e p ( x ) = p ′ ( u ( x ) ) = e p(x) = p'(u(x)) = e p ( x ) = p ′ ( u ( x )) = e x ∈ i ( F ) x \in i(F) x ∈ i ( F ) y ∈ F y \in F y ∈ F x = i ( y ) x = i(y) x = i ( y ) i ′ ( y ) = u ( i ( y ) ) = e i'(y) = u(i(y)) = e i ′ ( y ) = u ( i ( y )) = e i ′ i' i ′ y = e y = e y = e x = e x = e x = e u u u u u u u ( i ( F ) ) = i ′ ( F ) u(i(F)) = i'(F) u ( i ( F )) = i ′ ( F )
在其他字中，扩张E \mathscr{E} E E ′ \mathscr{E}' E ′ E \mathscr{E} E E ′ \mathscr{E}' E ′
设F F F G G G E 0 = F × G E_0 = F \times G E 0 = F × G i : F → E 0 i: F \to E_0 i : F → E 0 p : E 0 → G p: E_0 \to G p : E 0 → G G G G F F F E 0 : F → i E 0 → p G \mathscr{E}_0: F \xrightarrow{i} E_0 \xrightarrow{p} G E 0 : F i E 0 p G
令E : F → i E → p G \mathscr{E}: F \xrightarrow{i} E \xrightarrow{p} G E : F i E p G G G G F F F
引用了 2 引用了 命题 12, I § 4 , 习题 6, § 6
(i) E \mathscr{E} E E \mathscr{E} E r r r E \mathscr{E} E s s s s ( G ) s(G) s ( G ) i ( F ) i(F) i ( F )
显然 (i) 意味着 (ii) 和 (iii)。如果(ii)成立，映射( r , p ) : E → F × G (r, p): E \to F \times G ( r , p ) : E → F × G E \mathscr{E} E E 0 \mathscr{E}_0 E 0 F × G F \times G F × G E E E ( i , s ) (i, s) ( i , s ) § \S § E 0 \mathscr{E}_0 E 0 E \mathscr{E} E
扩张 E : F → E → G \mathscr{E}: F \to E \to G E : F → E → G E E E F × G F \times G F × G
令F F F G G G G G G τ \tau τ F F F g ∈ G g \in G g ∈ G f ∈ F f \in F f ∈ F τ ( g ) ( f ) = g f \tau(g)(f) = gf τ ( g ) ( f ) = g f F × G F \times G F × G
被以下引用 1 被以下引用 LIE III § 1. 。 李群
( ( f , g ) , ( f ′ , g ′ ) ) ↦ ( f , g ) ⋅ τ ( f ′ , g ′ ) = ( f ⋅ g f ′ , g g ′ )
((f, g), (f', g')) \mapsto (f, g) \cdot_{\tau} (f', g') = (f \cdot gf', gg')
(( f , g ) , ( f ′ , g ′ )) ↦ ( f , g ) ⋅ τ ( f ′ , g ′ ) = ( f ⋅ g f ′ , g g ′ ) 被称为 G G G τ \tau τ F F F
F F F τ \tau τ G G G F × τ G F \times_{\tau} G F × τ G
外部半直接乘积F × τ G F \times_{\tau} G F × τ G i ( f ) = ( f , e ) i(f) = (f, e) i ( f ) = ( f , e ) i : F → F × τ G i: F \to F \times_{\tau} G i : F → F × τ G p ( f , g ) = g p(f, g) = g p ( f , g ) = g p : F × τ G → G p: F \times_{\tau} G \to G p : F × τ G → G s ( g ) = ( e , g ) s(g) = (e, g) s ( g ) = ( e , g ) s : G → F × τ G s: G \to F \times_{\tau} G s : G → F × τ G ( F × τ G , i , p ) (F \times_{\tau} G, i, p) ( F × τ G , i , p ) G G G F F F s s s
被以下引用 1 被以下引用 例 1, VIII § 16
我们有：
( ( f , g ) ⋅ τ ( f ′ , g ′ ) ) ⋅ τ ( f ′ ′ , g ′ ′ ) = ( f . g f ′ , g g ′ ) ⋅ τ ( f ′ ′ , g ′ ′ ) = ( f . g f ′ . g g ′ f ′ ′ , g g ′ g ′ ′ ) ;
((f, g) \cdot_{\tau} (f', g')) \cdot_{\tau} (f'', g'') = (f.gf', gg') \cdot_{\tau} (f'', g'')
= (f.gf'.gg'f'', gg'g'');
(( f , g ) ⋅ τ ( f ′ , g ′ )) ⋅ τ ( f ′′ , g ′′ ) = ( f . g f ′ , g g ′ ) ⋅ τ ( f ′′ , g ′′ ) = ( f . g f ′ . g g ′ f ′′ , g g ′ g ′′ ) ; ( f , g ) ⋅ τ ( ( f ′ , g ′ ) ⋅ τ ( f ′ ′ , g ′ ′ ) ) = ( f , g ) ⋅ τ ( f ′ g ′ f ′ ′ , g ′ g ′ ′ ) = ( f . g ( f ′ . g ′ f ′ ′ ) , g g ′ g ′ ′ ) .
(f, g) \cdot_{\tau} ((f', g') \cdot_{\tau} (f'', g'')) = (f, g) \cdot_{\tau} (f'g'f'', g'g'')
= (f.g(f'.g'f''), gg'g'').
( f , g ) ⋅ τ (( f ′ , g ′ ) ⋅ τ ( f ′′ , g ′′ )) = ( f , g ) ⋅ τ ( f ′ g ′ f ′′ , g ′ g ′′ ) = ( f . g ( f ′ . g ′ f ′′ ) , g g ′ g ′′ ) . 现在g ( f ′ . g ′ f ′ ′ ) = g f ′ . g g ′ f ′ ′ g(f'.g'f'') = gf'.gg'f'' g ( f ′ . g ′ f ′′ ) = g f ′ . g g ′ f ′′ ( e , e ) (e, e) ( e , e ) ( f , g ) (f, g) ( f , g ) ( g − 1 f − 1 , g − 1 ) (g^{-1}f^{-1}, g^{-1}) ( g − 1 f − 1 , g − 1 ) F × τ G F \times_{\tau} G F × τ G
使用命题 3 中的记号，E τ \mathscr{E}_{\tau} E τ
F → i F × τ G → p G .
F \xrightarrow{i} F \times_{\tau} G \xrightarrow{p} G.
F i F × τ G p G . 令E ′ : F → i ′ E ′ → p ′ G \mathscr{E}' : F \xrightarrow{i'} E' \xrightarrow{p'} G E ′ : F i ′ E ′ p ′ G G G G F F F s ′ : G → E ′ s' : G \to E' s ′ : G → E ′ E ′ \mathscr{E}' E ′ F F F τ \tau τ G G G
(2)
i ′ ( τ ( g , f ) ) = s ′ ( g ) i ′ ( f ) s ′ ( g ) − 1 = Int ( s ′ ( g ) ) ( i ′ ( f ) ) .
i'(\tau(g, f)) = s'(g)i'(f)s'(g)^{-1} = \operatorname{Int}(s'(g))(i'(f)).
i ′ ( τ ( g , f )) = s ′ ( g ) i ′ ( f ) s ′ ( g ) − 1 = Int ( s ′ ( g )) ( i ′ ( f )) .
对于上面的记号，E τ \mathscr{E}_{\tau} E τ E ′ \mathscr{E}' E ′ u ∘ s = s ′ u \circ s = s' u ∘ s = s ′
被以下引用 2 被以下引用 例 , 定理 1, VIII § 16
( f , g ) = ( f , e ) ⋅ τ ( e , g ) = i ( f ) ⋅ τ s ( g ) . (f, g) = (f, e) \cdot_{\tau} (e, g) = i(f) \cdot_{\tau} s(g). ( f , g ) = ( f , e ) ⋅ τ ( e , g ) = i ( f ) ⋅ τ s ( g ) . 因此，如果
u u u 是解到问题，则
u ( f , g ) = i ′ ( f ) . s ′ ( g ) u(f, g) = i'(f).s'(g) u ( f , g ) = i ′ ( f ) . s ′ ( g ) 、从而唯一性必然是
u u u 。我们证明存在。我们写
u ( f , g ) = i ′ ( f ) . s ′ ( g ) u(f, g) = i'(f).s'(g) u ( f , g ) = i ′ ( f ) . s ′ ( g ) 。然后
u ( f , g ) . u ( f ′ , g ′ ) = i ′ ( f ) s ′ ( g ) i ′ ( f ′ ) s ′ ( g ′ ) = i ′ ( f ) ( s ′ ( g ) i ′ ( f ′ ) s ′ ( g ) − 1 ) s ′ ( g ) s ′ ( g ′ ) = i ′ ( f ) i ′ ( τ ( g , f ′ ) ) . s ′ ( g ) s ′ ( g ′ ) = i ′ ( f . τ ( g , f ′ ) ) . s ′ ( g g ′ ) = u ( ( f , g ) ⋅ τ ( f ′ , g ′ ) ) .
\begin{align*}
u(f, g).u(f', g') &= i'(f)s'(g)i'(f')s'(g') \\
&= i'(f)(s'(g)i'(f')s'(g)^{-1})s'(g)s'(g') \\
&= i'(f)i'(\tau(g, f')).s'(g)s'(g') \\
&= i'(f.\tau(g, f')).s'(gg') \\
&= u((f, g) \cdot_{\tau} (f', g')).
\end{align*}
u ( f , g ) . u ( f ′ , g ′ ) = i ′ ( f ) s ′ ( g ) i ′ ( f ′ ) s ′ ( g ′ ) = i ′ ( f ) ( s ′ ( g ) i ′ ( f ′ ) s ′ ( g ) − 1 ) s ′ ( g ) s ′ ( g ′ ) = i ′ ( f ) i ′ ( τ ( g , f ′ )) . s ′ ( g ) s ′ ( g ′ ) = i ′ ( f . τ ( g , f ′ )) . s ′ ( g g ′ ) = u (( f , g ) ⋅ τ ( f ′ , g ′ )) . 因此，u u u F × τ G F \times_{\tau} G F × τ G E ′ E' E ′ u ∘ i = i ′ u \circ i = i' u ∘ i = i ′ p ′ ∘ u = p p' \circ u = p p ′ ∘ u = p u ∘ s = s ′ u \circ s = s' u ∘ s = s ′
令G G G H H H K K K G G G H H H H ∩ K = { e } H \cap K = \{e\} H ∩ K = { e } H . K = G H.K = G H . K = G τ \tau τ H H H K K K G G G ( h , k ) ↦ h k (h, k) \mapsto hk ( h , k ) ↦ hk H × τ K H \times_{\tau} K H × τ K G G G
被以下引用 1 被以下引用 定义 9
在这个推论的假设下，G G G K K K H H H
(1) 设G G G E E E G G G Γ \Gamma Γ G G G A A A f f f E E E γ ∈ Γ \gamma \in \Gamma γ ∈ Γ f f f E E E E E E γ \gamma γ f ( g b ) = γ ( g ) f ( b ) f(gb) = \gamma(g)f(b) f ( g b ) = γ ( g ) f ( b ) b ∈ E b \in E b ∈ E g ∈ G g \in G g ∈ G f ( g b ) = γ ( g ) f ( b ) f(gb) = \gamma(g)f(b) f ( g b ) = γ ( g ) f ( b ) f ∈ A f \in A f ∈ A γ ∈ Γ \gamma \in \Gamma γ ∈ Γ f f f γ \gamma γ p ( f ) p(f) p ( f ) f , f ′ f, f' f , f ′ A A A γ = p ( f ) , γ ′ = p ( f ′ ) \gamma = p(f), \gamma' = p(f') γ = p ( f ) , γ ′ = p ( f ′ ) b ∈ E b \in E b ∈ E g ∈ G g \in G g ∈ G
( f ′ ∘ f ) ( g b ) = f ′ ( γ ( g ) f ( b ) ) = γ ′ ( γ ( g ) ) f ′ ( f ( b ) )
(f' \circ f)(gb) = f'(\gamma(g)f(b)) = \gamma'(\gamma(g))f'(f(b))
( f ′ ∘ f ) ( g b ) = f ′ ( γ ( g ) f ( b )) = γ ′ ( γ ( g )) f ′ ( f ( b )) 这就证明了
f ′ ∘ f ∈ A f' \circ f \in A f ′ ∘ f ∈ A 和
p ( f ′ ∘ f ) = p ( f ′ ) p ( f ) p(f' \circ f) = p(f')p(f) p ( f ′ ∘ f ) = p ( f ′ ) p ( f ) 。 另一方面，
f ( γ − 1 ( g ) f − 1 ( b ) ) = g b f(\gamma^{-1}(g)f^{-1}(b)) = gb f ( γ − 1 ( g ) f − 1 ( b )) = g b 、从而、
f − 1 ( g b ) = γ − 1 ( g ) f − 1 ( b ) f^{-1}(gb) = \gamma^{-1}(g)f^{-1}(b) f − 1 ( g b ) = γ − 1 ( g ) f − 1 ( b ) 和
f − 1 ∈ A f^{-1} \in A f − 1 ∈ A 。 因此，
A A A 是
S E \mathscr{S}_E S E 的子群，
p p p 是
A A A 到
Γ \Gamma Γ 的同态。
p p p 的核是
G G G 集合
E E E 的自同构的集合
A u t G ( E ) \mathrm{Aut}_G(E) Aut G ( E ) 。 我们修复
a ∈ E a \in E a ∈ E 。 我们在
G 0 G^0 G 0 的§ 5, no. 6同构
ψ a \psi_a ψ a 中定义到
A u t G ( E ) \mathrm{Aut}_G(E) Aut G ( E ) ，使得
ψ a ( x ) ( g a ) = g x a \psi_a(x)(ga) = gxa ψ a ( x ) ( g a ) = g x a 适用于
G G G 中的所有
g , x g, x g , x 。 另一方面，对于
γ ∈ Γ \gamma \in \Gamma γ ∈ Γ ，对于所有
g ∈ G g \in G g ∈ G ，令
s a ( γ ) s_a(\gamma) s a ( γ ) 为由
s a ( γ ) ( g a ) = γ ( g ) a s_a(\gamma)(ga) = \gamma(g)a s a ( γ ) ( g a ) = γ ( g ) a 定义的
E E E 的置换；立即验证
s a s_a s a 是
Γ \Gamma Γ 到
A A A 的同态，使得
p ∘ s a = I d τ p \circ s_a = \mathrm{Id}_{\tau} p ∘ s a = Id τ 。 因此，
G 0 → ψ a A → p Γ G^0 \xrightarrow{\psi_a} A \xrightarrow{p} \Gamma G 0 ψ a A p Γ 是
Γ \Gamma Γ 乘以
G 0 G^0 G 0 的扩张，
s a s_a s a 是这个扩张的截面。
Γ \Gamma Γ 的这个扩张和这个截面定义运算作用于
G 0 G^0 G 0 ，
s a ( Γ ) s_a(\Gamma) s a ( Γ ) 通过内自同构作用于
ψ a ( G 0 ) \psi_a(G^0) ψ a ( G 0 ) ；我们将这个运算写成指数形式。 我们证明这个运算是自然的运算（
§ 3 § 3 §3 ，no. 1，例3）：对于
G G G 和
γ ∈ Γ \gamma \in \Gamma γ ∈ Γ 中的
x , g x, g x , g ，
( ψ a ( γ x ) ) ( g a ) = ( s a ( γ ) ∘ ψ a ( x ) ∘ s a ( γ ) − 1 ) ( g a ) = ( s a ( γ ) ∘ ψ a ( x ) ) ( γ − 1 ( g ) a ) = s a ( γ ) ( γ − 1 ( g ) x a ) = g γ ( x ) a = ψ a ( γ ( x ) ) g a
(\psi_a(\gamma x))(ga) = (s_a(\gamma) \circ \psi_a(x) \circ s_a(\gamma)^{-1})(ga)
= (s_a(\gamma) \circ \psi_a(x))(\gamma^{-1}(g)a) = s_a(\gamma)(\gamma^{-1}(g)xa)
= g\gamma(x)a = \psi_a(\gamma(x))ga
( ψ a ( γ x )) ( g a ) = ( s a ( γ ) ∘ ψ a ( x ) ∘ s a ( γ ) − 1 ) ( g a ) = ( s a ( γ ) ∘ ψ a ( x )) ( γ − 1 ( g ) a ) = s a ( γ ) ( γ − 1 ( g ) x a ) = g γ ( x ) a = ψ a ( γ ( x )) g a 从而
γ x = γ ( x ) ^\gamma x = \gamma(x) γ x = γ ( x ) 。 命题 4 则证明
A A A 在
G 0 G^0 G 0 上
A u t ( G ) \mathrm{Aut}(G) Aut ( G ) 的自然运算下与
Γ = A u t ( G ) \Gamma = \mathrm{Aut}(G) Γ = Aut ( G ) 的半直积同构于
G 0 G^0 G 0 。 Note that the isomorphism which we have constructed depends in general on the choice of the element
a ∈ E a \in E a ∈ E . (2) *Let
A A A be a commutative ring. 上三角形群
T ( n , A ) T(n, A) T ( n , A ) 是上严格三角形群
T 1 ( n , A ) T_1(n, A) T 1 ( n , A ) 对角线子群
D ( n , A ) D(n, A) D ( n , A ) 的半直角乘积。
引用了 2 引用了 I § 5. 。 群运行于集合 , 命题 4
2. 换位子
令G G G x x x y y y G G G G G G x − 1 y − 1 x y x^{-1}y^{-1}xy x − 1 y − 1 x y x x x y y y
(x,y)用于表示x和y的换位子。那么显然
( y , x ) = ( x , y ) − 1 . (y, x) = (x, y)^{-1}. ( y , x ) = ( x , y ) − 1 . ( x , y ) = e (x, y) = e ( x , y ) = e x y = y x ( x , y ) . xy = yx(x, y). x y = y x ( x , y ) . x y = y − 1 x y = x ( x , y ) = ( y , x − 1 ) x . x^y = y^{-1}xy = x(x, y) = (y, x^{-1})x. x y = y − 1 x y = x ( x , y ) = ( y , x − 1 ) x . x ↦ x y x \mapsto x^y x ↦ x y Int ( y − 1 ) \operatorname{Int}(y^{-1}) Int ( y − 1 ) ( x , y ) z = ( x z , y z ) (x, y)^z = (x^z, y^z) ( x , y ) z = ( x z , y z ) x , y , z ∈ G x, y, z \in G x , y , z ∈ G 对于x , y , z ∈ G x, y, z \in G x , y , z ∈ G
( x , y z ) = ( x , z ) . ( x , y ) z = ( x , z ) . ( z , ( y , x ) ) . ( x , y ) (x, yz) = (x, z).(x, y)^z = (x, z).(z, (y, x)).(x, y) ( x , y z ) = ( x , z ) . ( x , y ) z = ( x , z ) . ( z , ( y , x )) . ( x , y ) ( x y , z ) = ( x , z ) y . ( y , z ) = ( x , z ) . ( ( x , z ) , y ) . ( y , z ) (xy, z) = (x, z)^y.(y, z) = (x, z).((x, z), y).(y, z) ( x y , z ) = ( x , z ) y . ( y , z ) = ( x , z ) . (( x , z ) , y ) . ( y , z ) ( x y , ( y , z ) ) . ( y z , ( z , y ) ) . ( z x , ( x , y ) ) = e (x^y, (y, z)).(y^z, (z, y)).(z^x, (x, y)) = e ( x y , ( y , z )) . ( y z , ( z , y )) . ( z x , ( x , y )) = e ( x , y z ) . ( z , x y ) . ( y , z x ) = e (x, yz).(z, xy).(y, zx) = e ( x , y z ) . ( z , x y ) . ( y , z x ) = e ( x y , z ) . ( y z , x ) . ( z x , y ) = e . (xy, z).(yz, x).(zx, y) = e. ( x y , z ) . ( y z , x ) . ( z x , y ) = e . 现在
( x , y z ) = x − 1 z − 1 y − 1 x y z = ( x , z ) z − 1 x − 1 y − 1 x y z = ( x , z ) ( x , y ) z = ( x , z ) ( z , ( x , y ) − 1 ) ( x , y )
\begin{align*}
(x, yz) &= x^{-1}z^{-1}y^{-1}xyz = (x, z)z^{-1}x^{-1}y^{-1}xyz = (x, z)(x, y)^z \\
&= (x, z)(z, (x, y)^{-1})(x, y)
\end{align*}
( x , y z ) = x − 1 z − 1 y − 1 x y z = ( x , z ) z − 1 x − 1 y − 1 x y z = ( x , z ) ( x , y ) z = ( x , z ) ( z , ( x , y ) − 1 ) ( x , y ) ( x y , ( y , z ) ) = ( x y ) − 1 ( z , y ) ( x y ) ( y , z ) = y − 1 x − 1 y z − 1 y − 1 z y y − 1 x y y − 1 z − 1 y z = ( y z y − 1 x y ) − 1 ( z x z − 1 y z ) .
\begin{align*}
(x^y, (y, z)) &= (x^y)^{-1}(z, y)(x^y)(y, z) \\
&= y^{-1}x^{-1}yz^{-1}y^{-1}zyy^{-1}xyy^{-1}z^{-1}yz \\
&= (yzy^{-1}xy)^{-1}(zxz^{-1}yz).
\end{align*}
( x y , ( y , z )) = ( x y ) − 1 ( z , y ) ( x y ) ( y , z ) = y − 1 x − 1 y z − 1 y − 1 z y y − 1 x y y − 1 z − 1 y z = ( y z y − 1 x y ) − 1 ( z x z − 1 y z ) . u = y z y − 1 x y , v = z x z − 1 x y u = yzy^{-1}xy, v = zxz^{-1}xy u = y z y − 1 x y , v = z x z − 1 x y w = x y x − 1 z x w = xyx^{-1}zx w = x y x − 1 z x ( x y , ( y , z ) ) = u − 1 v . (x^y, (y, z)) = u^{-1}v. ( x y , ( y , z )) = u − 1 v . x , y , z x, y, z x , y , z ( y z , ( z , x ) ) = v − 1 w (y^z, (z, x)) = v^{-1}w ( y z , ( z , x )) = v − 1 w ( z x , ( x , y ) ) = w − 1 u , (z^x, (x, y)) = w^{-1}u, ( z x , ( x , y )) = w − 1 u , ( x , y z ) = x − 1 z − 1 y − 1 x y z = ( y z x ) − 1 ( x y z ) (x, yz) = x^{-1}z^{-1}y^{-1}xyz = (yzx)^{-1}(xyz) ( x , y z ) = x − 1 z − 1 y − 1 x y z = ( y z x ) − 1 ( x y z ) x , y , z x, y, z x , y , z 如果A和B是G的两个子群，(A, B)表示由换位子( a , b ) (a, b) ( a , b ) a ∈ A a \in A a ∈ A b ∈ B b \in B b ∈ B ( A , B ) = { e } (A, B) = \{e\} ( A , B ) = { e } ( A , B ) ⊂ A (A, B) \subset A ( A , B ) ⊂ A ( A , B ) (A, B) ( A , B )
† 我们在此拒绝§ 1中制定的符号约定，将合成的律延伸至子集。
令A , B , C A, B, C A , B , C G G G
被以下引用 1 被以下引用 定义 5
(i) 子群A A A ( A , B ) (A, B) ( A , B )
(ii) 如果子群( B , C ) (B, C) ( B , C ) A A A ( A , ( B , C ) ) (A, (B, C)) ( A , ( B , C )) ( a , ( b , c ) ) (a, (b, c)) ( a , ( b , c )) a ∈ A , b ∈ B a \in A, b \in B a ∈ A , b ∈ B c ∈ C c \in C c ∈ C
(iii) 如果A , B A, B A , B C C C
( A , ( B , C ) ) ⊂ ( C , ( B , A ) ) . ( B , ( C , A ) ) .
(A, (B, C)) \subset (C, (B, A)).(B, (C, A)).
( A , ( B , C )) ⊂ ( C , ( B , A )) . ( B , ( C , A )) . 通过（4之二），对于a , a ′ ∈ A a, a' \in A a , a ′ ∈ A b ∈ B b \in B b ∈ B
( a , b ) a ′ = ( a a ′ , b ) . ( a ′ , b ) − 1 ,
(a, b)^{a'} = (aa', b).(a', b)^{-1},
( a , b ) a ′ = ( a a ′ , b ) . ( a ′ , b ) − 1 , 从而（一）。现在假设( B , C ) (B, C) ( B , C ) A A A a ∈ A , b ∈ B , c ∈ C a \in A, b \in B, c \in C a ∈ A , b ∈ B , c ∈ C x ∈ G x \in G x ∈ G
( a , ( b , c ) . x ) = ( a , x ) . ( x , ( ( b , c ) , a ) ) ( a , ( b , c ) )
(a, (b, c).x) = (a, x).(x, ((b, c), a))(a, (b, c))
( a , ( b , c ) . x ) = ( a , x ) . ( x , (( b , c ) , a )) ( a , ( b , c )) 和( ( b , c ) , a ) ∈ A ((b, c), a) \in A (( b , c ) , a ) ∈ A ( B , C ) (B, C) ( B , C ) p p p A A A ( a , ∏ i = 1 p ( b i , c i ) ) \left( a, \prod_{i=1}^p (b_i, c_i) \right) ( a , ∏ i = 1 p ( b i , c i ) ) b i ∈ B , c i ∈ C b_i \in B, c_i \in C b i ∈ B , c i ∈ C ( a , ( b , c ) ) (a, (b, c)) ( a , ( b , c )) A , B A, B A , B C C C ( A , ( B , C ) ) (A, (B, C)) ( A , ( B , C )) ( C , ( B , A ) ) (C, (B, A)) ( C , ( B , A )) ( B , ( C , A ) ) (B, (C, A)) ( B , ( C , A ))
( a , ( b , c ) ) ∈ ( C , ( B , A ) ) . ( B , ( C , A ) )
(a, (b, c)) \in (C, (B, A)).(B, (C, A))
( a , ( b , c )) ∈ ( C , ( B , A )) . ( B , ( C , A )) 对于所有a ∈ A , b ∈ B a \in A, b \in B a ∈ A , b ∈ B c ∈ C c \in C c ∈ C a b − 1 = u a^{b^{-1}} = u a b − 1 = u
( a , ( b , c ) ) = ( ( u b ) , ( b , c ) ) = ( c u , ( u , b ) ) − 1 . ( b c , ( c , u ) ) − 1 ,
(a, (b, c)) = ((u^b), (b, c)) = (c^u, (u, b))^{-1}.(b^c, (c, u))^{-1},
( a , ( b , c )) = (( u b ) , ( b , c )) = ( c u , ( u , b ) ) − 1 . ( b c , ( c , u ) ) − 1 , 从而（三）。
设G G G G G G G G G
引用了 1 引用了 习题 16, § 6
因此，G G G ( G , G ) (G, G) ( G , G ) D ( G ) D(G) D ( G ) G G G 换位子群 ，尽管它通常与 G G G D ( G ) = { e } D(G) = \{e\} D ( G ) = { e } G G G
设f : G → G ′ f : G \to G' f : G → G ′ f ( D ( G ) ) ⊂ D ( G ′ ) f(D(G)) \subset D(G') f ( D ( G )) ⊂ D ( G ′ ) f f f D ( G ) D(G) D ( G ) f f f D ( G ′ ) D(G') D ( G ′ )
引用了 1 · 被以下引用 2 引用了 推论 3, I § 4
被以下引用 命题 12 , 引理 1, LIE IX Appendix 1
G G G f f f G ′ G' G ′ f f f G G G f f f G ′ G' G ′
群G G G G G G G G G
设G为群。 商群 G/D(G) 是可交换的。设π : G → G / D ( G ) \pi : G \to G/D(G) π : G → G / D ( G ) f = f ˉ ∘ π f = \bar{f} \circ \pi f = f ˉ ∘ π f ˉ : G / D ( G ) → G ′ \bar{f} : G/D(G) \to G' f ˉ : G / D ( G ) → G ′
引用了 1 · 被以下引用 2 引用了 命题 5, I § 4
被以下引用 注 , 推论 3
现在π ( D ( G ) ) = { e } \pi(D(G)) = \{e\} π ( D ( G )) = { e } π \pi π D ( G / D ( G ) ) = { e } D(G/D(G)) = \{e\} D ( G / D ( G )) = { e }
(i) H ⊃ D ( G ) H \supset D(G) H ⊃ D ( G ) G / H G/H G / H ⇒ \Rightarrow ⇒ ⇒ \Rightarrow ⇒
设G为G的群和X子集，其中生成G。群D(G)是由X的元素的换位子生成的G的法线子群。
引用了 2 · 被以下引用 1 引用了 推论 2, I § 4 , 推论 3
被以下引用 注
令H为由X的元素的换位子和ϕ : G → G / H \phi : G \to G/H ϕ : G → G / H ϕ ( X ) \phi(X) ϕ ( X ) G / H G/H G / H ϕ ( X ) \phi(X) ϕ ( X ) H ⊂ D ( G ) H \subset D(G) H ⊂ D ( G )
(1) 如果 G 是非交换简单群，则 D ( G ) = G D(G) = G D ( G ) = G
(2) 对称群S n S_n S n A n A_n A n A n A_n A n τ = τ x , y \tau = \tau_{x,y} τ = τ x , y τ ′ = τ x ′ , y ′ \tau' = \tau_{x',y'} τ ′ = τ x ′ , y ′ σ \sigma σ σ ( x ′ ) = x \sigma(x') = x σ ( x ′ ) = x σ ( y ′ ) = y \sigma(y') = y σ ( y ′ ) = y τ ′ = σ − 1 τ σ \tau' = \sigma^{-1} \tau \sigma τ ′ = σ − 1 τ σ τ τ ′ = τ − 1 τ ′ = τ − 1 σ − 1 τ σ \tau \tau' = \tau^{-1} \tau' = \tau^{-1} \sigma^{-1} \tau \sigma τ τ ′ = τ − 1 τ ′ = τ − 1 σ − 1 τ σ A n ⊂ D ( S n ) A_n \subset D(S_n) A n ⊂ D ( S n ) S n / A n S_n/A_n S n / A n A n ⊃ D ( S n ) A_n \supset D(S_n) A n ⊃ D ( S n )
引用了 1 引用了 推论 3
3. 中下部级数，无力群
设G为群，G的H子群，K为G的正规子群。当且仅当( G , H ) ⊂ K (G, H) \subset K ( G , H ) ⊂ K
令 G 为群。 G 的下中心级数是 G 的子群的序列 ( C n ( G ) ) n ≥ 1 (C^n(G))_{n \geq 1} ( C n ( G ) ) n ≥ 1
C 1 ( G ) = G , C n + 1 ( G ) = ( G , C n ( G ) ) .
C^1(G) = G, \quad C^{n+1}(G) = (G, C^n(G)).
C 1 ( G ) = G , C n + 1 ( G ) = ( G , C n ( G )) . 引用了 1 · 被以下引用 1 引用了 命题 5
被以下引用 LIE II § 4. 。中央过滤
设f : G → G ′ f : G \to G' f : G → G ′ n n n f ( C n ( G ) ) ⊂ C n ( G ′ ) f(C^n(G)) \subset C^n(G') f ( C n ( G )) ⊂ C n ( G ′ ) f f f f ( C n ( G ) ) = C n ( G ′ ) f(C^n(G)) = C^n(G') f ( C n ( G )) = C n ( G ′ ) n ≥ 1 n \geq 1 n ≥ 1 C 2 ( G ) C^2(G) C 2 ( G ) G G G n ≥ 1 n \geq 1 n ≥ 1 C n ( G ) / C n + 1 ( G ) C^n(G)/C^{n+1}(G) C n ( G ) / C n + 1 ( G ) G / C n + 1 ( G ) G/C^{n+1}(G) G / C n + 1 ( G )
令 ( G 1 , G 2 , … ) (G_1, G_2, \ldots) ( G 1 , G 2 , … ) G G G G 1 = G G_1 = G G 1 = G i i i G i / G i + 1 G_i/G_{i+1} G i / G i + 1 G / G i + 1 G/G_{i+1} G / G i + 1 C i ( G ) ⊂ G i C^i(G) \subset G_i C i ( G ) ⊂ G i i i i
现在
( C m ( G ) , C n ( G ) ) ⊂ C m + n ( G ) .
(C^m(G), C^n(G)) \subset C^{m+n}(G).
( C m ( G ) , C n ( G )) ⊂ C m + n ( G ) . ( F m , n ) (F_{m,n}) ( F m , n ) ( F m , n ) (F_{m,n}) ( F m , n ) ( C m ( G ) , C n + 1 ( G ) ) ⊂ ( G , ( C m ( G ) , C n ( G ) ) ) . ( C n ( G ) , ( G , C m ( G ) ) ) ⊂ C m + n + 1 ( G ) . ( C m + 1 ( G ) , C n ( G ) ) .
\begin{align*}
(C^m(G), C^{n+1}(G)) &\subset (G, (C^m(G), C^n(G))).(C^n(G), (G, C^m(G))) \\
&\subset C^{m+n+1}(G).(C^{m+1}(G), C^n(G)).
\end{align*}
( C m ( G ) , C n + 1 ( G )) ⊂ ( G , ( C m ( G ) , C n ( G ))) . ( C n ( G ) , ( G , C m ( G ))) ⊂ C m + n + 1 ( G ) . ( C m + 1 ( G ) , C n ( G )) . ( ( F m , n ) and ( F m + 1 , n ) ) ⇒ ( F m , n + 1 ) ((F_{m,n}) \text{ and } (F_{m+1,n})) \Rightarrow (F_{m,n+1}) (( F m , n ) and ( F m + 1 , n )) ⇒ ( F m , n + 1 ) ( F m , 1 ) (F_{m,1}) ( F m , 1 ) ( F 1 , n ) (F_{1,n}) ( F 1 , n ) ( F m , n ) (F_{m,n}) ( F m , n )
如果存在整数n n n C n + 1 ( G ) = { e } C^{n+1}(G) = \{e\} C n + 1 ( G ) = { e } G G G n n n C n + 1 ( G ) = { e } C^{n+1}(G) = \{e\} C n + 1 ( G ) = { e } G G G
被以下引用 1 被以下引用 注, LIE II § 4
如果n ∈ N n \in \mathbf{N} n ∈ N n n n n n n G G G G G G
(1) 群是类 0（或 ≤ 1 \leq 1 ≤ 1
(2) *对于每个交换环 A A A n ≥ 1 n \geq 1 n ≥ 1 T 1 ( n , A ) T_1(n, A) T 1 ( n , A ) ≤ n − 1 \leq n - 1 ≤ n − 1 A ≠ { 0 } A \neq \{0\} A = { 0 } n − 1 n - 1 n − 1
(3) 设G G G n n n G G G ≤ n \leq n ≤ n H H H G G G C n ( H ) ⊂ C n ( G ) C^n(H) \subset C^n(G) C n ( H ) ⊂ C n ( G ) G ′ G' G ′ G G G π : G → G ′ \pi : G \to G' π : G → G ′ C n ( G ′ ) = π ( C n ( G ) ) C^n(G') = \pi(C^n(G)) C n ( G ′ ) = π ( C n ( G ))
(4) 幂零群的有限乘积是幂零的。
(a) G G G ≤ n \leq n ≤ n 存在G G G
G = G 1 ⊃ G 2 ⊃ … ⊃ G n + 1 = { e }
G = G^1 \supset G^2 \supset \ldots \supset G^{n+1} = \{e\}
G = G 1 ⊃ G 2 ⊃ … ⊃ G n + 1 = { e } 这样 ( G , G k ′ ) ⊂ G k ′ + 1 (G, G^{k'}) \subset G^{k'+1} ( G , G k ′ ) ⊂ G k ′ + 1 *对于所有人*
k ∈ { 1 , n } k \in \{1, n\} k ∈ { 1 , n } 。
(c) 存在G G G A A A G G G G / A G/A G / A ≤ n − 1 \leq n - 1 ≤ n − 1
(a)⇒ \Rightarrow ⇒ G k = C k ( G ) G^k = C^k(G) G k = C k ( G ) ⇒ \Rightarrow ⇒ k k k C k ( G ) ⊂ G k C^k(G) \subset G^k C k ( G ) ⊂ G k ⇒ \Rightarrow ⇒ A = C n ( G ) A = C^n(G) A = C n ( G ) ⇒ \Rightarrow ⇒ π : G → G / A \pi : G \to G/A π : G → G / A π ( C n ( G ) ) = C n ( G / A ) = { e } \pi(C^n(G)) = C^n(G/A) = \{e\} π ( C n ( G )) = C n ( G / A ) = { e } C n ( G ) ⊂ A C^n(G) \subset A C n ( G ) ⊂ A C n + 1 ( G ) = { e } C^{n+1}(G) = \{e\} C n + 1 ( G ) = { e }
更简单地说：如果可以通过n n n { e } \{e\} { e } ≤ n \leq n ≤ n
令G G G ≤ n \leq n ≤ n H H H G G G
G = H 1 ⊃ H 2 ⊃ … ⊃ H n + 1 = H ,
G = H^1 \supset H^2 \supset \ldots \supset H^{n+1} = H,
G = H 1 ⊃ H 2 ⊃ … ⊃ H n + 1 = H , 使得H k + 1 H^{k+1} H k + 1 H k H^k H k H k / H k + 1 H^k/H^{k+1} H k / H k + 1 k ≤ n k \leq n k ≤ n
引用了 1 · 被以下引用 1 引用了 命题 7
被以下引用 命题 12
Choose a sequence ( G k ) (G^k) ( G k ) G G G k k k G k G^k G k G G G
H k = H . G k .
H^k = H.G^k.
H k = H . G k . 需要验证H k + 1 H^{k+1} H k + 1 H k = H . G k H^k = H.G^k H k = H . G k H H H G k G^k G k s ∈ G k s \in G^k s ∈ G k h ∈ H h \in H h ∈ H
s h s − 1 = s h s − 1 h − 1 . h ∈ ( G , G k ) . H
shs^{-1} = shs^{-1}h^{-1}.h \in (G, G^k).H
s h s − 1 = s h s − 1 h − 1 . h ∈ ( G , G k ) . H 并且( G , G k ) . H (G, G^k).H ( G , G k ) . H G k + 1 . H = H k + 1 G^{k+1}.H = H^{k+1} G k + 1 . H = H k + 1 s . H k + 1 . s − 1 = H k + 1 s.H^{k+1}.s^{-1} = H^{k+1} s . H k + 1 . s − 1 = H k + 1 H k + 1 H^{k+1} H k + 1 H k H^k H k
最后，典范同态G k / G k + 1 → H k / H k + 1 G^k/G^{k+1} \to H^k/H^{k+1} G k / G k + 1 → H k / H k + 1
令 G G G G G G H H H H H H G G G G G G H H H N G ( H ) N_G(H) N G ( H ) H H H
被以下引用 1 被以下引用 命题 16, LIE III § 9
令k k k H k ≠ H H^k \neq H H k = H H k H^k H k H H H H H H
令 G G G G G G H H H H H H G G G G G G H H H N N N G G G G / N G/N G / N
被以下引用 1 被以下引用 推论 3
令k k k H k ≠ G H^k \neq G H k = G H k H^k H k
设 G 为 G 的幂零群且 H 子群。如果 G = H.(G, G)，则 G = H。
引用了 1 · 被以下引用 2 引用了 推论 2
被以下引用 推论 4 , 习题 6, § 5
G 的每个子群 N 其中包含 H 并且使得 G/N 是可交换的包含 H.(G, G)。因此，推论 3 由推论 2 得出。
推论3也可以这样表述：令X为G的子集。对于X到生成G，G/D(G)生成G/D(G)中X的像是充要的。
设 f: G' → G 为群同态。假设* (a) G 是幂零的。 (b) 同态 f₁：G'/(G', G') → G/(G, G)，由 f 通过经过得到商，是满射。 *那么 f 是满射。
引用了 1 引用了 推论 3
这是从应用于子群 H = f(G') 的推论 3 得出的。
设 G 为类 ≤ n 的幂零群，令 N 为 G 的正规子群。存在子群的级数
引用了 1 · 被以下引用 1 引用了 命题 7
被以下引用 推论
N = N 1 ⊃ N 2 ⊃ … ⊃ N n + 1 = { e }
N = N^1 \supset N^2 \supset \ldots \supset N^{n+1} = \{e\}
N = N 1 ⊃ N 2 ⊃ … ⊃ N n + 1 = { e } 这样 (G, N^k) ⊂ N^{k+1} 对于 k = 1, ..., n.
如果 (G^k) 满足命题 7 的条件 (b)，则取
N k = G k ∩ N .
N^k = G^k \cap N.
N k = G k ∩ N .
设 G 为 G 的幂零群，Z 中心，N 为 G 的正规子群。如果 N ≠ {e}，则 N ∩ Z ≠ {e}。
被以下引用 1 被以下引用 推论 2
令 k 为最大的指标，使得 N^k ≠ {e}。 群 N^k 包含在 N 中。 另一方面，(G, N^k) ⊂ N^{k+1} = {e}；因此 N^k 包含在 G 的中心 Z 中。
令 f 为从幂零群 G 到群 G' 的同态。如果 f 的限制到 G 的中心是内射的，则 f 是内射的。
引用了 1 引用了 推论 1
4. 导出级数，可解群
设G为群。 G 的导出级数是级数 (D^n(G))_{n \in \mathbf{N}} 归纳定义为：
D 0 ( G ) = G ; D n + 1 ( G ) = D ( D n ( G ) ) for n ∈ N .
D^0(G) = G; \quad D^{n+1}(G) = D(D^n(G)) \quad \text{for } n \in \mathbf{N}.
D 0 ( G ) = G ; D n + 1 ( G ) = D ( D n ( G )) for n ∈ N . 然后D 0 ( G ) = C 1 ( G ) = G , D 1 ( G ) = C 2 ( G ) = D ( G ) = ( G , G ) D^0(G) = C^1(G) = G,\ D^1(G) = C^2(G) = D(G) = (G, G) D 0 ( G ) = C 1 ( G ) = G , D 1 ( G ) = C 2 ( G ) = D ( G ) = ( G , G )
设f : G → G ′ f : G \to G' f : G → G ′ f ( D n ( G ) ) ⊂ D n ( G ′ ) f(D^n(G)) \subset D^n(G') f ( D n ( G )) ⊂ D n ( G ′ ) f f f f ( D n ( G ) ) = D n ( G ′ ) f(D^n(G)) = D^n(G') f ( D n ( G )) = D n ( G ′ ) n ∈ N n \in \mathbf{N} n ∈ N D n ( G ) D^n(G) D n ( G ) n ∈ N n \in \mathbf{N} n ∈ N D n ( G ) / D n + 1 ( G ) D^n(G)/D^{n+1}(G) D n ( G ) / D n + 1 ( G ) G / D n + 1 ( G ) G/D^{n+1}(G) G / D n + 1 ( G )
令 ( G 0 , G 1 , … ) (G_0, G_1, \ldots) ( G 0 , G 1 , … ) G 0 = G G_0 = G G 0 = G i i i G i + 1 G_{i+1} G i + 1 G i G_i G i G i / G i + 1 G_i/G_{i+1} G i / G i + 1 D i ( G ) ⊂ G i D^i(G) \subset G_i D i ( G ) ⊂ G i i i i i i i
如果存在整数 n 使得D n ( G ) = { e } D^n(G) = \{e\} D n ( G ) = { e } D n ( G ) = { e } D^n(G) = \{e\} D n ( G ) = { e }
可解性为类 n n n n n n
(1) 群可解为类 0（或 ≤ 1 \leq 1 ≤ 1 { e } \{e\} { e }
(2) 类 ≤ 2 n − 1 \leq 2^n - 1 ≤ 2 n − 1 ≤ n \leq n ≤ n D n ( G ) ⊂ C 2 n ( G ) D^n(G) \subset C^{2^n}(G) D n ( G ) ⊂ C 2 n ( G )
(3) 令 G 为类 ≤ n \leq n ≤ n ≤ n \leq n ≤ n
(4) 如果 G 是类 p p p q q q ≤ p + q \leq p + q ≤ p + q π : E → G \pi : E \to G π : E → G π ( D p ( E ) ) ⊂ D p ( G ) = { e } \pi(D^p(E)) \subset D^p(G) = \{e\} π ( D p ( E )) ⊂ D p ( G ) = { e } D p ( E ) ⊂ F D^p(E) \subset F D p ( E ) ⊂ F D p + q ( E ) = D q ( D p ( E ) ) ⊂ D q ( F ) = { e } D^{p+q}(E) = D^q(D^p(E)) \subset D^q(F) = \{e\} D p + q ( E ) = D q ( D p ( E )) ⊂ D q ( F ) = { e }
(5) 对称群 S n S_n S n n < 5 n < 5 n < 5
(6) *如果 A 为交换环，则上三角群 T(n, A) 可解，但一般不是幂零的。
设 G 为群，n 整数。以下条件是等效的：
被以下引用 1 被以下引用 推论
(i) G 可解类 ≤ n \leq n ≤ n (ii) G的正常子群存在级数
G = G 0 ⊃ G 1 ⊃ … ⊃ G n = { e }
G = G^0 \supset G^1 \supset \ldots \supset G^n = \{e\}
G = G 0 ⊃ G 1 ⊃ … ⊃ G n = { e } 使得群 G k / G k + 1 G^k/G^{k+1} G k / G k + 1 (iii)
G的子群存在级数 G = G 0 ⊃ G 1 ⊃ … ⊃ G n = e
G = G^0 \supset G^1 \supset \ldots \supset G^n = e
G = G 0 ⊃ G 1 ⊃ … ⊃ G n = e 这样，对于所有 k，G k + 1 G^{k+1} G k + 1 G k G^k G k G k / G k + 1 G^k/G^{k+1} G k / G k + 1
(iv) 存在G G G A A A G / A G/A G / A ≤ n − 1 \leq n - 1 ≤ n − 1
对于 (i) ⇒ \Rightarrow ⇒ G k G^k G k D k ( G ) D^k(G) D k ( G ) ⇒ \Rightarrow ⇒ ⇒ \Rightarrow ⇒ D k ( G ) D^k(G) D k ( G ) G k G^k G k n n n
更简单地说：如果可以通过n n n ≤ n \leq n ≤ n
令 G G G
G = G 0 ⊃ G 1 ⊃ … ⊃ G n = { e }
G = G^0 \supset G^1 \supset \ldots \supset G^n = \{e\}
G = G 0 ⊃ G 1 ⊃ … ⊃ G n = { e } G G G 的 Jordan-Hölder 级数要使
G G G 可解，商
G k / G k + 1 G^k/G^{k+1} G k / G k + 1 是素数阶的循环是必要且充分的。
引用了 2 引用了 命题 10 , 命题 9
如果合成列与 G G G G G G G G G k k k G k / G k + 1 G^k/G^{k+1} G k / G k + 1 § 4 § 4 §4 H H H D ( H ) D(H) D ( H ) H H H D ( H ) = H D(H) = H D ( H ) = H D k ( H ) = H D^k(H) = H D k ( H ) = H k k k D ( H ) = { e } D(H) = \{e\} D ( H ) = { e } H H H § 4 § 4 §4
5. p p p
In this number and the following, the letter p p p § 4 § 4 §4
令 G G G p r p^r p r p p p p r p^r p r p p p § 4 § 4 §4 G G G p p p § 4 § 4 §4 G G G p p p § 5 § 5 §5
p p p p p p p p p
例。 (1) 交换p p p Z / p n Z \mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z} Z / p n Z § 4 § 4 §4 k k k p p p T 1 ( n , k ) T_1(n, k) T 1 ( n , k ) p p p { ± 1 , ± i , ± j , ± k } \{ \pm 1, \pm i, \pm j, \pm k \} { ± 1 , ± i , ± j , ± k }
令E E E G G G E E E p p p E G E^G E G x ∈ E x \in E x ∈ E g x = x gx = x g x = x g ∈ G g \in G g ∈ G
Card ( E G ) ≡ Card ( E ) ( m o d p ) .
\operatorname{Card}(E^G) \equiv \operatorname{Card}(E) \pmod{p}.
Card ( E G ) ≡ Card ( E ) ( mod p ) . 被以下引用 5 被以下引用 推论 , 引理 , 定理 3 , 习题 10, § 2 , 习题 6, § 4
E — E^G 是轨道的不相交的并，未减少到点。这样的轨道的基数是p p p p 0 = 1 p^0 = 1 p 0 = 1 p p p
让 G 对自身进行内自同构运算。固定点的集合是G的中心Z。由命题11，
Card ( Z ) ≡ Card ( G ) ≡ 0 ( m o d p ) ,
\operatorname{Card}(Z) \equiv \operatorname{Card}(G) \equiv 0 \pmod{p},
Card ( Z ) ≡ Card ( G ) ≡ 0 ( mod p ) , 从而Card ( Z ) ≠ 1 \operatorname{Card}(Z) \neq 1 Card ( Z ) = 1 Z ≠ { e } Z \neq \{e\} Z = { e }
G = G 1 ⊃ G 2 ⊃ … ⊃ G r + 1 = { e }
G = G^1 \supset G^2 \supset \ldots \supset G^{r+1} = \{e\}
G = G 1 ⊃ G 2 ⊃ … ⊃ G r + 1 = { e } 使得 ( G , G k ) ⊂ G k + 1 , 1 ≤ k ≤ r , (G, G^k) \subset G^{k+1}, 1 \leq k \leq r, ( G , G k ) ⊂ G k + 1 , 1 ≤ k ≤ r , G k / G k + 1 , 1 ≤ k ≤ r , G^k/G^{k+1}, 1 \leq k \leq r, G k / G k + 1 , 1 ≤ k ≤ r , p p p
定理对于 G = { e } G = \{e\} G = { e } Card ( G ) \operatorname{Card}(G) Card ( G ) x ≠ e x \neq e x = e p s , s ≠ 0 , p^s, s \neq 0, p s , s = 0 , x p s − 1 x^{p^s - 1} x p s − 1 p p p G ′ G' G ′ p p p G ′ = G / G ′ G' = G/G' G ′ = G / G ′ ( G ′ k ) 1 ≤ k ≤ r ({G'}^k)_{1 \leq k \leq r} ( G ′ k ) 1 ≤ k ≤ r π : G → G ′ \pi : G \to G' π : G → G ′ G k = π − 1 ( G ′ k ) , 1 ≤ k ≤ r , G r + 1 = { e } G^k = \pi^{-1}({G'}^k), 1 \leq k \leq r, G^{r+1} = \{e\} G k = π − 1 ( G ′ k ) , 1 ≤ k ≤ r , G r + 1 = { e } G k / G k + 1 G^k/G^{k+1} G k / G k + 1 G ′ k / G ′ k + 1 {G'}^k/{G'}^{k+1} G ′ k / G ′ k + 1 1 ≤ k ≤ r 1 \leq k \leq r 1 ≤ k ≤ r
每个 p 群都是幂零的。
引用了 1 · 被以下引用 1 引用了 命题 7
被以下引用 定理 4
(a) 归一化器 N G ( H ) N_G(H) N G ( H ) G 中的 H 与 G 不同。 (b) G 中存在指标 p 的正常子群 N ，其中包含 H。
断言 (a) 由no. 3、推论1 到命题 8。我们证明(b)。根据 no. 3，推论 2 到命题 8，存在 G 包含 H 的正规子群 N ′ N' N ′ G / N ′ G/N' G / N ′ N ′ N' N ′ G / N G/N G / N p p p p p p
设 G 为 p 基团。 指标 p 的 G 的每个子群都是正常的。
6. 西洛子群
令 G 为有限群。 G 的 Sylow p 子群是 G 满足以下两个条件的任意子群 P：
(a) P 是 p 基团。 (b) (G : P) 不是 p 的倍数。
如果G的阶写成形式p r m p^r m p r m p p p C a r d ( P ) = p r \mathrm{Card}(P) = p^r Card ( P ) = p r
(1) 在群S p \mathfrak{S}_p S p ζ \zeta ζ p p p ζ \zeta ζ S p \mathfrak{S}_p S p p p p p p p ( p − 1 ) ! (p - 1)! ( p − 1 )! p p p T 1 ( n , k ) T_1(n, k) T 1 ( n , k ) G L ( n , k ) \mathbf{GL}(n, k) GL ( n , k ) p p p
设n = p r m n = p^r m n = p r m p p p
( n p r ) ≢ 0 ( m o d p ) .
\binom{n}{p^r} \not\equiv 0 \pmod{p}.
( p r n ) ≡ 0 ( mod p ) . 引用了 2 引用了 命题 11 , 推论 1, E III § 5
令 S 为阶 p r p^r p r Z / p r Z \mathbf{Z}/p^r \mathbf{Z} Z / p r Z X = S × T X = S \times T X = S × T p r p^r p r C a r d ( X ) = n \mathrm{Card}(X) = n Card ( X ) = n C a r d ( E ) = ( n p r ) \mathrm{Card}(E) = \binom{n}{p^r} Card ( E ) = ( p r n ) s . ( x , y ) = ( s x , y ) ( s , x ∈ S , y ∈ T ) s.(x, y) = (sx, y) (s, x \in S, y \in T) s . ( x , y ) = ( s x , y ) ( s , x ∈ S , y ∈ T ) E S E^S E S S × { t } , t ∈ T S \times \{ t \}, t \in T S × { t } , t ∈ T Y ⊂ X Y \subset X Y ⊂ X C a r d ( E S ) = m \mathrm{Card}(E^S) = m Card ( E S ) = m
( n p r ) = C a r d ( E ) ≡ C a r d ( E S ) = m ≢ 0 ( m o d p ) ,
\binom{n}{p^r} = \mathrm{Card}(E) \equiv \mathrm{Card}(E^S) = m \not\equiv 0 \pmod{p},
( p r n ) = Card ( E ) ≡ Card ( E S ) = m ≡ 0 ( mod p ) , 这就证明了引理。
我们现在证明定理。设G为有限群，n为阶；我们写 n = p r m n = p^r m n = p r m p p p p r p^r p r
C a r d ( E ) = ( n p r ) ;
\mathrm{Card}(E) = \binom{n}{p^r};
Card ( E ) = ( p r n ) ; 从而，凭借引理、
C a r d ( E ) ≢ 0 ( m o d p ) \mathrm{Card}(E) \not\equiv 0 \pmod{p} Card ( E ) ≡ 0 ( mod p ) 。通过左平移考虑 G 的运算的扩张到 E。存在
X ∈ E X \in E X ∈ E ，其轨道具有非零基数模。
p p p 。如果
H X H_X H X 表示 X 中的稳定子，则
( G : H x ) ≢ 0 ( m o d p ) (G:H_x) \not\equiv 0 \pmod{p} ( G : H x ) ≡ 0 ( mod p ) p r p^r p r C a r d ( H x ) \mathrm{Card}(H_x) Card ( H x ) H x H_x H x s ∈ G s \in G s ∈ G s X = X sX = X s X = X x ∈ X x \in X x ∈ X H x ⊂ X . x − 1 H_x \subset X.x^{-1} H x ⊂ X . x − 1 C a r d ( H x ) ⩽ C a r d ( X ) = p r \mathrm{Card}(H_x) \leqslant \mathrm{Card}(X) = p^r Card ( H x ) ⩽ Card ( X ) = p r C a r d ( H x ) = p r \mathrm{Card}(H_x) = p^r Card ( H x ) = p r
如果 G 的阶能被 p 整除，则阶 p 的群 G 包含元素
引用了 1 引用了 定理 2
凭借定理 2，这被简化为G是p p p ≠ { e } \neq \{e\} = { e } x ∈ G x \in G x ∈ G p n p^n p n n ⩾ 1 n \geqslant 1 n ⩾ 1 p p p
设 G 为有限群。* (a) G 的 Sylow p 子群为共轭到 1 另一个。它们的数等于 1 mod。 p. (b) *作为 p 群的 G 的每个子群都包含在 Sylow p 子群中。
引用了 2 · 被以下引用 2 引用了 命题 11 , 定理 2
被以下引用 注 , 推论 2
令 P 为 G (定理 2) 的 Sylow p p p p p p ≢ 0 \not\equiv 0 ≡ 0 p p p x ∈ G / P x \in G/P x ∈ G / P h x = x hx = x h x = x h ∈ H h \in H h ∈ H H ⊂ g P g − 1 H \subset gPg^{-1} H ⊂ g P g − 1
如果 H 是 Sylow p p p g P g − 1 gPg^{-1} g P g − 1 H = g P g − 1 H = gPg^{-1} H = g P g − 1
我们现在证明(a)的第二个断言。令S \mathscr{S} S p p p S \mathscr{S} S P ∈ S P \in \mathscr{S} P ∈ S Q ∈ S Q \in \mathscr{S} Q ∈ S p p p n ∈ N n \in N n ∈ N P = n Q n − 1 = Q P = nQn^{-1} = Q P = n Q n − 1 = Q S P \mathscr{S}^P S P ≡ \equiv ≡ S P P \mathscr{S}^{P^P} S P P p p p
设 P 为 G 的 Sylow p 子群，设 N 为其在 G 中的归一化子，令 M 为 G 包含于 N 的子群。M 在 G 中的归一化子等于 M。
被以下引用 1 被以下引用 定理 4
令s ∈ G s \in G s ∈ G s M s − 1 = M sMs^{-1} = M s M s − 1 = M s P s − 1 sPs^{-1} s P s − 1 p p p t ∈ M t \in M t ∈ M s P s − 1 = t P t − 1 sPs^{-1} = tPt^{-1} s P s − 1 = tP t − 1 t − 1 s ∈ N t^{-1}s \in N t − 1 s ∈ N s ∈ t N ⊂ M s \in tN \subset M s ∈ tN ⊂ M
令 f : G 1 → G 2 f : G_1 \to G_2 f : G 1 → G 2 G 1 G_1 G 1 P 1 P_1 P 1 G 2 G_2 G 2 P 2 P_2 P 2 f ( P 1 ) ⊂ P 2 f(P_1) \subset P_2 f ( P 1 ) ⊂ P 2
引用了 1 引用了 定理 3
这是从应用于 G 2 G_2 G 2 f ( P 1 ) f(P_1) f ( P 1 )
(a) 设H H H G G G H H H p p p P P P G G G p p p Q Q Q P = Q ∩ H P = Q \cap H P = Q ∩ H
(b) 相反，如果 Q Q Q G G G p p p H H H G G G Q ∩ H Q \cap H Q ∩ H H H H p p p
(a) p p p P P P G G G p p p Q Q Q Q ∩ H Q \cap H Q ∩ H H H H P P P p p p P P P
(b) 令 P ′ P' P ′ H H H p p p g ∈ G g \in G g ∈ G g P ′ g − 1 ⊂ Q gP'g^{-1} \subset Q g P ′ g − 1 ⊂ Q H H H P = g P ′ g − 1 P = gP'g^{-1} P = g P ′ g − 1 H H H Q ∩ H Q \cap H Q ∩ H Q ∩ H Q \cap H Q ∩ H H H H p p p P P P H H H P = Q ∩ H P = Q \cap H P = Q ∩ H p p p
令 N N N G G G G G G p p p G / N G/N G / N G / N G/N G / N p p p G / N G/N G / N p p p
令G ′ = G / N G' = G/N G ′ = G / N P ′ P' P ′ G G G p p p P P P G ′ G' G ′ G G G G ′ / P ′ G'/P' G ′ / P ′ G ′ / P ′ G'/P' G ′ / P ′ G / S G/S G / S S S S G G G P P P ( G ′ : P ′ ) (G':P') ( G ′ : P ′ ) ( G : P ) (G:P) ( G : P ) p p p p p p P ′ P' P ′ G ′ G' G ′ p p p Q ′ Q' Q ′ p p p G ′ G' G ′ Q ′ = g ′ P ′ g ′ − 1 Q' = g'P'{g'}^{-1} Q ′ = g ′ P ′ g ′ − 1 g ′ ∈ G ′ g' \in G' g ′ ∈ G ′ g ∈ G g \in G g ∈ G g ′ g' g ′ Q ′ Q' Q ′ Q = g P g − 1 Q = gPg^{-1} Q = g P g − 1
7. 有限幂零群
设G G G
引用了 3 · 被以下引用 6 引用了 推论 , 推论 1 , 命题 12
被以下引用 注 , 习题 13, § 11 , 注 3, V § 11 , 注 2, VII § 2 , 习题 16, § 4 , 推论 4, LIE IX § 5
(a) G G G G G G p p p p p p G G G p p p ⇒ \Rightarrow ⇒
假设 (a) 成立并令 P P P G G G p p p N N N G G G P P P N N N N = G N = G N = G ⇒ \Rightarrow ⇒
假设 (c) 成立，且令 I I I C a r d ( G ) \mathrm{Card}(G) Card ( G ) p ∈ I p \in I p ∈ I P p P_p P p G G G p p p p ≠ q p \neq q p = q P p ∩ P q P_p \cap P_q P p ∩ P q e e e p p p q q q P p P_p P p P q P_q P q § 4 § 4 §4 ϕ \phi ϕ ∏ p ∈ I P p \prod_{p \in I} P_p ∏ p ∈ I P p G G G § 4 § 4 §4 ϕ \phi ϕ C a r d ( ∏ p ∈ I P p ) = C a r d ( G ) \mathrm{Card}\left(\prod_{p \in I} P_p\right) = \mathrm{Card}(G) Card ( ∏ p ∈ I P p ) = Card ( G ) ϕ \phi ϕ
群 S 3 \mathfrak{S}_3 S 3 A 3 A_3 A 3 { e , τ } \{e, \tau\} { e , τ } τ \tau τ S 3 \mathfrak{S}_3 S 3
习题
参见习题为 § 6 。