习题 14, § 11

a) 令K为域，使得存在任意大有限次数的K的代数扩张，并且所有这些扩张具有相同素数数p的次数幂。表明在这些条件下，对于每个幂$p^h$($h \geq 0$)存在次数$p^h$的K扩张(使用I，p. 77，Th.1)。

b) 设$p$为素数数和$K$域，使得存在次数的$K$的代数扩张，如果$p \neq 2$可被$p$整除，如果$p = 2$则可被4整除。证明存在一个$K$的代数扩张$E$，使得$E$的代数扩张的次数的集合是幂$p^h$的集合 $p$。 （如果$K$是完美的或具有特征$\neq p$，则令$K_1$为$K$的完美闭包；考虑$K_1$的最大代数扩张，其中元素为次数且不能被$p$整除超过 $K$；使用 a) 和 Ex。 11.)