设 $\alpha \in R(G,T)$；将 $V_{\alpha}= (G/$Z(Ker$\alpha$ ))$\times$ (Ker$\alpha$ )，并让 $\varphi_{\alpha}$ 成为从 $V_{\alpha}$ 到 G 的态射，这样，对于所有 $g\in G$ 和所有 $t\in$ Ker $\alpha$，我们有$\varphi_{\alpha}(\overline{g}, t) =gtg^{-1}$（我们用$\overline{g}$表示$g$模Z(Ker$\alpha$)的陪集）。那么$V_{\alpha}$是维数的紧实解析流形

暗淡 $V_{\alpha}=$ 暗淡 $G-$ 暗淡 Z(Ker $\alpha$ ) $+$ 暗淡 Ker$\alpha$

$=n-$（暗淡T + 2）+（暗淡$T-1$）$=n-3$

(§4, no. 5，Th.$1$)$;\varphi_{\alpha}$是实解析流形的态射，$\varphi_{\alpha}$的像由G共轭的元素到Ker$\alpha$的元素组成。现在只需将 V 变为流形 $V_{\alpha}$ 的和，并将 $\varphi$ 变为态射，在每个 $V_{\alpha}$ 上归纳出 $\varphi_{\alpha}$。

b) 群 W（分别为 $W_a$）在集合房间（分别为凹室）上简单传递地运行。

c) 令 C 为房间，A 为凹室。那么$\overline{C}$（分别为A，分别为A）是W在$\mathfrak{t}$上的运算（分别为$\mathfrak{t}$上的$W_a$，以及$\mathfrak{t}$-- $\mathfrak{t}_r$上的$W_a$）的基本域。如果$x\in \mathfrak{t}_r$和$w\in W_a$使得$w(x) =x$，则$w=$Id。

d) 对于每个房间C，都存在一个唯一的凹室A，使得$A\subset C$和$\gamma \in \frac{0}{A}.\in \overline{A}$。对于每个凹室 A，都存在一个唯一的 $\gamma \in N(G,T)$，使得

如果$w\in W$和$\gamma \in \Gamma$(T)，则$wt_{\gamma}w^{-1}=t_{w(\gamma)}$和$wt_{\gamma}w^{-1}t^{-1}_{\gamma}=t_{w(\gamma)-\gamma}$，以及$w(\gamma )-\gamma \in N(G,T)$；这立即意味着a)。 命题的其余部分来自第 1 章。 VI, §1, no. 5 和§2，编号。 1 和 2。

a) 群$W'_a$是$H_A$乘$W_a$的半直接乘积。

b) 指数映射 $\overline{A}\rightarrow T$ 和典范嵌入 $T\rightarrow G$ 诱导通过商和子集同胚

$\overline{A}/H_A\rightarrow T/W\rightarrow G/$整数(G)

$A/H_A\rightarrow T_r/W\rightarrow G_r/$Int(G)。

让$w'\in W'_a$；则$w'(A)$是$\mathfrak{t}$的凹室，并且存在$W_a$的（命题$2b$）$)$唯一元素$w$使得$w(A) =w'$(A)，即$w^{-1}w'\in H_A$。由于 $W_a$ 在 $W'_a$ 中是正规的，这就证明了 a)。

$\overline{A}$的典范嵌入变成$\mathfrak{t}$诱导连续的双射$\theta :\overline{A}\rightarrow$$\mathfrak{t}/W_a$（命题$2c$）$)$，这是一个同胚，因为A是紧的。由于$W_a$在$W'_a$中是正常的，群$H_A$在$\mathfrak{t}/W_a($代数上规范地运行，第1章。 I, §5, no. 4)和$\mathfrak{t}/W'_a$可以用商$(\mathfrak{t}/W_a)/H_A$来识别； 映射 $\theta$ 与 $H_A$ 的运算兼容，因此诱导通过通向商同胚 $A/H_A\rightarrow \mathfrak{t}/W'_a$。此外，exp$_{\Gamma}$诱导是从$\mathfrak{t}/\Gamma (T)$到T的同态，因此也是从$\mathfrak{t}/W'_a$到$T/W$的同态。 断言 b) 由此得出，Cor. §2, no. 4第 5 号提案 1。

$\overline{C}\rightarrow \mathfrak{t}/W\rightarrow \mathfrak{g}/$广告(G)。

规范的映射$\overline{C}\rightarrow \mathfrak{t}$和$\mathfrak{t}\rightarrow \mathfrak{t}/W$是正确的（一般拓扑，第III, §4, no. 1章，第$2c$）$)$。 映射 $\overline{C}\rightarrow \mathfrak{t}/W$ 是连续的、真属的、双射的（命题$2c$）$)$；因而，它是同胚，因此是 Cor 的推论。 §2, no. 5第6号提案。

我们可以假设$g$属于到$T_r($§2, no. 2，Th。 2）。令$x$为$\mathfrak{t}_r$的元素，使得exp$x=g$，并令$A'$为$\mathfrak{t}$包含$x$的凹室。 $\mathfrak{t}$ 的凹室 A，使得 $g\in$ exp(A) 是 $\gamma \in \Gamma (T)$ 的凹室 $A'-\gamma$；因此，断言是从命题$2d)$得出的。

a) H 是 G 的闭子群。

b) 如果 $H_0$ 是 G 的中心，则 G 是可交换的（因此 G = T）。

断言 a) 很清楚。为了证明b)，我们可以通过D(G)来替换G（§1，命题4的Cor.1），因此可以假设G是半单。那么，如果$H_0$是G的中心，我们有$L(H) =\{0\}$，所以自同态$L(u)-$Id of $\mathfrak{g}$是双射的。令$f$为流形G的自同态，由$f(g) =u(g)^{-1}g$对$g\in G$定义；它是étale，因为如果$g\in G$和$x\in \mathfrak{g}$，我们有$T(f)(xg) =u(g)^{-1}(x-L(u)(x))g$，所以$f$在$g$的切线映射是双射的。由此可见，$f$的像是开紧的，因此重合与G，因为G是连通的。现在让 E 为 G (§4, no. 10, Def. 3) 的框架，$u(E)$ 是$u$ 下的像。根据 loc. 19 号提案。如上所述，G 存在元素 $h$，使得 (Int $h$)$(E) =u(E)$。令 $g\in G$ 使得 $h=f(g) =u(g)^{-1}g$；那么

$u\circ$整数$g=$（整数$u(g)$）$\circ u=$整数$g\circ$（整数$h$）$^{-1}\circ u$，

所以框架(Int $g$)$(E)$在$u$下是稳定的。如果(Int $g$)$(E) = (T_1,B,(U_{\alpha})_{\alpha\in B})$，则$\sum U_{\alpha}\in L(H)$；因为$L(H) =\{0\}$，这意味着$B =\emptyset$，所以$G = T_1$，并且G是可交换的。

对于所有$\alpha \in R(G,T)$，令$S_{\alpha}$是S的元素$s$的S由……组成的子流形，使得$(xs)^{\alpha}= 1$。如果 S 不存在元素 $s$ 使得 $xs$ 是正则，则 S 是子流形 $S_{\alpha}$ 的并，因此等于其中之一。因此，$R(G,T)$中存在$\alpha$，使得$(xs)^{\alpha}= 1$对于所有$s\in S$；但这意味着 $x^{\alpha}= 1$ 和 $\alpha |S = 1$，因此 $Z(x)\cap Z(S)\supset$ Z(Ker $\alpha$ )，因此引理。

由于 G 是单连通的，$\Gamma (T)$ 由节点向量 $K_{\alpha}$ $(\alpha \in R(G,T))$ 生成，因此具有 $K_{\alpha}$ 系列的基由……组成，其中 $\alpha$ 属于到基 B(C)由C定义（第VI, §1, no. 10章）。因此，只要证明，如果$\varphi$是环面T的自同构，留下$\Gamma$(T)的稳定基，则$\varphi$的固定点的集合是连通的。将这个基分解为$\varphi$生成的群的轨道的不相交的并，我们就简化为$T =\mathbf{U}^n$和$\varphi$是自同构$(z_1, . . . , z_n) \rightarrow (z_2, . . . , z_n, z_1)$的情况；在这种情况下，$\varphi$的固定点是$z\in \mathbf{U}$的点$(z, z, . . . , z)$，其中形式与T的子群相连。

a) 存在$\mathfrak{g}$的元素$a$，由$L(u)$和Ad$x$固定，使得$x$exp$a$是正则的。

b) 存在由$u$固定且与$x$交换的G的正则元素$g$。

令H为$u, S$的固定点的群和$Z(x)\cap H$的最大环面，K为$Z(S)\cap Z(x)$的恒等分量。这是 G 的连通闭子群；此外，Cor. 5 Th。 §2, no. 2的2个，存在最大环面G包含S和$x$，所以K最大为秩和包含S和$x$。另一方面，K 在 $u$ 下是稳定的，因为 S 和 $x$ 是；用K中$u$的固定点的V集合表示。则

所以$V_0$包含在$(Z(x)\cap H)_0$中S的扶正子中；但后者约化到S（loc.cit.，Cor.6），因此最终$V_0= S$。 引理 1 现在意味着 K 是可交换的，因此是 G 的最大值环面（因为它是连通的且最大值为秩）。它包含 S 和$x$，并且等于$Z(S)\cap Z(x)$ 的恒等分量； 断言 a) 现在由引理 2 得出。我们通过取 $g=x$ exp $a$ 推导出 b)。

替换$\mathfrak{s}$乘以$\mathscr{D}\mathfrak{s}$，我们可以假设$\mathfrak{s}$是半单。令 S 为紧单连接李群与李代数 $\mathfrak{s}$，并令 $u$ 为 S 的自同构，使得 $L(u) =\varphi$。命题3意味着$\mathfrak{s}$存在元素$a$，由$\varphi$固定，使得exp$a$在S中是正则；特别是，$a$在$\mathfrak{s}$（no. 2，注4）中是规则的。

a) G 的$u$包含正则元素固定点的群恒等分量。

b) 存在 G 的最大环面 K 和L(K) 的室，在 $u$ 下稳定。

c) 如果 G 是单连通的，则 $u$ 的固定点的集合是连通的。

断言 a) 是命题 3 的特例$x=e$。我们现在假设 G 是单连通的并证明 b) 和 c)。令$x$为由$u$固定的G的元素，并令$g$为G的正则元素，由$u$固定并与$x$交换（命题3）。 $g$的扶正器K是G的最大环面（no. 2，注2），在$u$、包含于、$x$和$g$下稳定。由科.根据no. 2的命题2的3，存在L(K)的唯一凹室A，使得$g\in$exp A和$0\in A$；由于 $g$ 被 $u, L(u)$ 叶 A 固定，因此 L(K) 包含于 A 的室也是稳定的。这证明了 b);此外，由$u$固定的K的点的集合连接（引理3）和包含$x$和$e$，因此$c) ($一般拓扑，第1章。 I, §11, no. 1，提案 2）。

一般情况下还有待证明b)。现在，如果$\widetilde{D}(G)$是D(G)的通用覆盖，并且如果$f: \widetilde{D}(G)\rightarrow G$是规范的态射，则存在$\widetilde{D}(G)$的自同构$\widetilde{u}$使得$f\circ \widetilde{u}=u\circ f$。如果$\widetilde{K}$是$\widetilde{D}(G)$的最大值环面，并且$\widetilde{C}$是$L( \widetilde{K})$的一个室，在$\widetilde{u}$下稳定（这已经被证明存在），则存在（§2, no. 3，注2）一个唯一的最大值G 的环面 K 和L(K) 的独特室C 使得$\widetilde{K} =f^{-1}(K)$ 和$\widetilde{C} = L(f)^{-1}$(C)，我们立即看到K 和C 在$u$ 下是稳定的，因此在一般情况下断言 b)。

a) G 的每个元素的扶正器都是连通的。

b) G 属于的任意两个交换元素到相同的最大值环面。

由科. §4, no. 6第11条命题3，D(G)是单连通的。我们有$G = C(G)_0.D(G)$；让 $x\in G$；写出$x=uv$，加上$u\in C(G)_0$和$v\in D(G)$。然后$Z(x) = C(G)_0.Z_{D(G)}(v)$。由 Th. $1c), Z_{D(G)}(v)$ 已连通，因此 $Z(x)$ 已连通，因此 a)。因此，通过 Cor. 3 Th。 §2 中的 2 个，没有。 $2, Z(x)$ 是 G 包含于 $x$ 最大环面的并，因此 b)。

(*) 存在$\Gamma$的元素$u_1, . . . , u_n$，使得对于所有$i$，由$u_1, . . . , u_i$生成的$\Gamma$的子群的闭包$\Gamma_i$是$\Gamma$的正规子群，并且$\Gamma_n=\Gamma$。

那么，在运算 $\Gamma$ 下，存在 G 的最大环面稳定。

我们通过归纳对G的维数进行论证。显然，我们可以假设$u_1\not=$Id；则$u_1$固定点的子群H与G不同，且在$\Gamma$的运算下稳定。而且，由于$\Gamma$是紧的，Aut(H$_0$)中$\Gamma$的像是$\Gamma$的商，因此也满足条件(*)。到归纳假设时，H在$\Gamma$下稳定存在最大环面 S。 G中S的扶正器K是连通的（§2, no. 2，Cor.5）并且在$\Gamma$下稳定；这是 G 的最大环面，因为 G 的 $H_0$ 包含正则元素 (Th. $1a$)$)$ 是 S 的共轭到元素（见上文，Cor. 4）。

令 H 为紧李群，N 为 H 的幂零子群。则 N 的闭包 $\Gamma$ 也是幂零群（第 III, §9, no. 1 章，第 1 条命题第 2 章），鉴于 Cor.1，它就足够了。 3、证明$\Gamma$满足条件(*)。现在 $\Gamma_0$ 是连通紧致幂零李群，因此是环面（§1, no. 4，第 4 条命题 1），并且存在 $\Gamma$ 生成的的元素 $u_1$ 的稠密子群 $\Gamma_0($一般拓扑，第 1 章VII, §1, no. 3，第 8 条提案之前的文字）。 有限群$\Gamma /\Gamma_0$是幂零的，并且存在$\widetilde{u}_2, . . . ,\widetilde{u}_n\in \Gamma /\Gamma_0$生成的$\Gamma /\Gamma_0$，因此$(\widetilde{u}_2, . . . ,\widetilde{u}_r)$生成的$\Gamma /\Gamma_0$的子群对于$r= 2, . . . , n($代数来说是正常的，第1章。 I, §6, no. 5，周四。 1 和 no. 7，Th。 4).那么，如果$u_2, . . . , u_n$是$\Gamma$中$\widetilde{u}_2, . . . ,\widetilde{u}_n$的代表，则序列$(u_1, . . . , u_n)$具有所需的属性。

$f'(\overline{z}, x) =$（广告$gt^{-1}$）$(z-$（广告$t$）$z+x)$。

令 F 为从 $G\times T$ 到 T 的映射，使得 $F(g, t) =gtg^{-1}$。从 $F\circ (\gamma (g)$，Id$_T) =$ Int $g\circ F$ 开始，我们有 $T_{(g,t)}(F)(gz, tx) = T_t$(Int $g$)$\circ T_{(e,t)}(F)(z, tx)$；由章。 III, §3, no. 12，第 46 号提案，

$T_{(e,t)}(F)(z, tx) =t$((广告$t^{-1}$)$z-z$)$+tx=t$((广告$t^{-1}$)$(z-$(广告$t$)$z+x$))

因而

$T_{(g,t)}(F)(gz, tx) =gtg^{-1}$((广告$gt^{-1}$)$(z-$(广告$t$)$z+x$))。

引理紧接着公式通向商。

(i) $t\in T_r$（分别为$x\in \mathfrak{t}_r$）。

(i bis) 元素 $f(\overline{g}, t)$（分别为 $\varphi (\overline{g}, x)$）在 G 中是正则。

(ii) 映射 $f$（分别为 $\varphi$）是在点 $(\overline{g}, t)$（分别为 $(\overline{g}, x)$）处的浸没。

(ii之二) 映射 $f$（分别为$\varphi$）的版本为点 $(\overline{g}, t)$（分别为$(\overline{g}, x)$）。

b) 映射 $f_r$（分别$\varphi_r$、$\varphi_A$）使 $(G/T)\times T_r$（分别$(G/T)\times \mathfrak{t}_r$、$(G/T)\times A$）成为 $G_r$ 和群 W（分别$W'_a$）的主覆盖，分别$H_A$）。

a) (i)和(i之二)的等价是明确的； (ii)和(ii之二)的结果来自关系dim((G$/T$)$\times T$)$=$dim((G$/T$)$\times \mathfrak{t}$)$=$dim(G)。当且仅当 $\mathfrak{g}=\mathfrak{t}+$ Im(Ad $t-$Id) 时，引理 4，$f$ 是点 $(\overline{g}, t)$ 的淹没，这意味着 $t$ 是规则的。最后，由于 $\varphi =f\circ$ (Id$_{G/T}\times$ exp$_T$)$,\varphi$ 的 étale 为点 $(\overline{g}, x)$ 当且仅当 $f$ 的 étale 为点 $(\overline{g}$，exp $x$)，通过前面的方法即 $x$ 属于至 $\mathfrak{t}_r$。

b) 态射 $f_r, \varphi_r, \varphi_A$ 因此是étale。另一方面，W 在$G/T$ 上自由运行，更不必说在$(G/T)\times T$ 上自由运行。设G中的$g, g'$和$T_r$中的$t, t'$使得$f(\overline{g}, t) =f(\overline{g}', t')$；然后将 Int $g^{-1}g'$ 映射 $t'$ 到 $t$，因此将 T 归一化，因为 W 映射 $(\overline{g}, t)$ 中的 $T = Z(t)_0= Z(t')_0$ 和 $g^{-1}g'$ 的类 $w$ 为$(\overline{g}', t')$。由此可见，$f_r$ 是群 W 的主覆盖；这立即意味着$\varphi_r$是群$W'_a$的主覆盖，因此通过限制到$(G/T)\times \mathfrak{t}_r$的连通分量$(G/T)\times A$，$\varphi_A$是群$H_A$的主覆盖。