习题 4, § 5

假设G是半单。令$e$为G的一个框架，并且G的自同构的$\Phi$群尊重该框架；由 $\Phi$ 固定的元素的 G 由……组成的 H 子群表示。

a) 证明$H_0$是半单；如果 G 是单连通的，则 H 是连通的（约化到 G 几乎简单且 $\Phi$ 是循环的情况，并应用 Th. 1 (no. 3) 和第 VIII, §5，练习 13）。

b) 假设G 几乎是简单的。表明

如果 G 为型 $A_{2l}(l\geq 1)$ 并且 $\Phi$ 为阶 $2, H_0$ 为型 $B_l$；

如果 G 为型 $A_{2l-1}(l\geq 2)$ 并且 $\Phi$ 为阶 $2, H_0$ 为型 $C_l$；

如果 G 为型 $D_l(l\geq 4)$ 并且 $\Phi$ 为阶 $2, H_0$ 为型 $B_{l-1}$；

如果 G 为型 $D_4$ 并且 $\Phi$ 为阶 3 或 $6, H_0$ 为型 $G_2$；

如果G是型$E_6$并且$\Phi$是阶$2, H_0$是型$F_4$。

在每种情况下，确定群$\pi_i$（H），$i= 0,1$（cf.练习3）。

c) 证明子群 $H_0$ 是本金（§4，练习 18）。

d) 证明型 $B_3$ 的半单群或 $A_6$ 包含型 $G_2$ 的本金子群（使用$b$）并执行。 §4 中的 20 个）。