Bài tập 4, § 5

Giả sử rằng G là nửa đơn. Cho $e$ là một khung của G và $\Phi$ là một nhóm các tự đẳng cấu của G tôn trọng khung này; ký hiệu H là nhóm con của G gồm các phần tử bất động bởi $\Phi$.

a) Chứng minh rằng $H_0$ là nửa đơn; nếu G là đơn liên, H là liên thông (rút gọn về trường hợp trong đó G là hầu như đơn và $\Phi$ là cyclic, và áp dụng Đl. 1 (no. 3) và Chương VIII, §5, Bài tập 13).

b) Giả sử rằng G là hầu như đơn. Chứng minh rằng

nếu G có kiểu $A_{2l}(l\geq 1)$ và $\Phi$ có cấp $2, H_0$ có kiểu $B_l$;

nếu G có kiểu $A_{2l-1}(l\geq 2)$ và $\Phi$ có cấp $2, H_0$ có kiểu $C_l$;

nếu G có kiểu $D_l(l\geq 4)$ và $\Phi$ có cấp $2, H_0$ có kiểu $B_{l-1}$;

nếu G có kiểu $D_4$ và $\Phi$ có cấp 3 hoặc $6, H_0$ có kiểu $G_2$;

nếu G có kiểu $E_6$ và $\Phi$ có cấp $2, H_0$ có kiểu $F_4$.

Trong mỗi trường hợp, xác định các nhóm $\pi_i$(H), $i= 0,1$ (xem Bài tập 3).

c) Chứng minh rằng nhóm con $H_0$ là chính (§4, Bài tập 18).

d) Chứng minh rằng một nhóm nửa đơn kiểu $B_3$ hoặc $A_6$ chứa một nhóm con chính kiểu $G_2$ (dùng $b$) và Bài tập 20 của §4).