Exercice 4, § 5

On suppose G semi-simple. Soient e un épinglage de G et $\Phi$ un groupe d’automorphismes de G respectant l’épinglage ; on désigne par H le sous-groupe de G formé des éléments fixés par $\Phi$. a) Montrer que $H_0$ est semi-simple ; si G est simplement connexe, H est connexe (se ramener au cas où G est presque simple et $\Phi$ cyclique, et appliquer le th. 1 (n° 3) et VIII, § 5, exerc. 13). b) On suppose G presque simple. Montrer que si G est de type $A_{2l}$ ($l \geq 1$) et $\Phi$ d’ordre 2, $H_0$ est de type $B_l$; si G est de type $A_{2l-1}$ ($l \geq 2$) et $\Phi$ d’ordre 2, $H_0$ est de type $C_l$; si G est de type $D_l$ ($l \geq 4$) et $\Phi$ d’ordre 2, $H_0$ est de type $B_{l-1}$; si G est de type $D_4$ et $\Phi$ d’ordre 3 ou 6, $H_0$ est de type $G_2$; si G est de type $E_6$ et $\Phi$ d’ordre 2, $H_0$ est de type $F_4$. Dans chaque cas, déterminer les groupes $\pi_i(H)$, $i = 0, 1$ (cf. exerc. 3). c) Démontrer que le sous-groupe $H_0$ est principal (§ 4, exerc. 18). d) Démontrer qu’un groupe semi-simple de type $B_3$ ou $A_6$ contient un sous-groupe principal de type $G_2$ (utiliser b) et l’exerc. 20 du § 4).