由于W是由反射$s_\alpha$生成的，因此它包含在$W_a$中。另一方面，如果$\alpha \in \mathbf{R}$则有$t(\alpha^\sim) = s_{\alpha,1} \circ s_\alpha$，这表明$Q \subseteq W_a$。

由于 W 保持 $Q(\mathbf{R}^\sim)$ 稳定 (§ 1, no. 9)，因此 W 和 Q 生成的仿射变换的群 G 是 Q 通过 Q 得到的 W 的半直接乘积。现在，对于所有 $\alpha \in \mathbf{R}$ 和 $k \in \mathbf{Z}$，现在使用 (1) 的 $G \subseteq W_a$ 和 $s_{\alpha,k} \in G$。由此可见$W_a = G$。

由于 $Q(\mathbf{R}^\sim)$ 是 $V^*$ 的离散子群，因此群 Q 可以正确作用于 E。因而，$W_a = W.Q$ 也可以，因为 W 是有限的。此外，对于$\alpha, \beta \in \mathbf{R}$和$k \in \mathbf{Z}$：

其中 $n(\alpha,\beta) = \langle \beta^\sim, \alpha \rangle$ 是整数，因此是第二个断言。

因而，我们可以将章 V, § 3 的结果应用到 $W_a$ 作用于 E。为了避免与 $V^*$ 中的 Weyl 群 W 的室发生任何混淆，我们将称由超平面 $L_{\alpha,k}$ 的系统确定的室（对于$\alpha \in \mathbf{R}$ 和 $k \in \mathbf{Z}$) 在 E 凹室。 群$W_a$因此简单地传递作用于壁龛的集合，壁龛的关闭是$W_a$作用于E的基本域（第V, § 3, no. 2，Th.1和no. 3，Th.2）。很明显，Weyl 群 W 与 V* 的正交群中的 $W_a$ 典范像 $U(W_a)$ 相同（cf. 第 V, § 3, no. 6 章）。由此可见，W_a 是本质的（第 V, § 3, no. 7 章），并且当且仅当根系 R 是（§ 1, no. 2，第 5 条命题的修正）时，W_a 是不可约的。如果 R 是不可约的，则每个壁龛都是一个开单纯形（第 V, § 3, no. 9 章，第 8 条命题）。在一般情况下，R 的仿射空间 E（第V, § 3, no. 8章）对应到分解的规范乘积分解为不可约分量。特别是，壁龛是乘积的开放式单体。

注还有Cor。的 Th。第 1 章V, § 3, no. 2 表明 s_{\alpha,k} 是 W_a 中唯一的反射。

设 x_0 \in E 且设 \alpha \in R。 超平面 L 平行于 Ker \alpha 和经过通过 x_0 有方程 \langle \alpha, x \rangle = \langle \alpha, x_0 \rangle。为了等于某个 L_{\beta,k}，一方面需要 \alpha 和 \beta 成比例，因而，由于 R 被减小，所以 \beta = \pm \alpha，另一方面 \langle \alpha, x_0 \rangle 为整数。紧接着，x_0 是 W_a 的特殊点当且仅当 \langle \alpha，x_0 \rangle \in \mathbf{Z} 对于所有 \alpha \in R，在其他字中，当且仅当 x_0 \in P(R') (§ 1, no. 9)。

鉴于 Cor 的观点，这是根据第 3 号提案得出的。第 11 章提案V, § 3, no. 10 和第 12 章第 12 条提案V, § 3, no. 10。

(i) C'中存在一个唯一的壁龛C，使得 0 \in \overline{C}。 (ii) w \in W 的 w(\overline{C}) 的并是 E 中 0 的邻域。 (iii) 每面C' 的墙都是C 的墙。

这是从第 11 章提案得出的。 V, § 3, no. 10。

现在假设 R 是不可约的。设 (\alpha_i)_{i \in I} 为 R (§ 1, no. 5, Def. 2) 的基，并令 (\overline{\omega}_i)_{i \in I} 为对偶基。 \overline{\omega}_i 是 R' 相应的至基 (\alpha_i) 的室 D' 的基本权。让

为 R (§ 1, no. 8) 的最高根，并令 J 为 i \in I 的集合，使得 n_i = 1。

(i) $C$ 是 $x \in E$ 的集合，使得 $\langle \alpha_i, x \rangle > 0$ 对于所有 $i \in I$ 和 $\langle \tilde{\alpha}, x \rangle < 1$。

(ii) 集合 $\overline{C} \cap P(R^-)$ 由 0 和 $\overline{\omega}_i$ 组成 $i \in J$。

令$D$为$x \in E$的集合，使得$\langle \tilde{\alpha}, x \rangle < 1$和集合$C_1 = C' \cap D$。从$0 \in \overline{C}$开始，我们有$C \subseteq D$，因此有$C \subseteq C_1$。我们将证明，对于所有$\alpha \in R$和所有$k \in \mathbf{Z}$，集合、$C$和$C_1$位于超平面$L_{\alpha,k}$的同一侧。这将证明$C_1 \subseteq C$，因此将建立断言(i)。如果$k = 0$，则整个腔室$C'$位于$L_{\alpha,0}$的一侧，这在本例中建立了我们的断言。如果$k \neq 0$，我们可以通过替换$\alpha$乘$-\alpha$，假设$k > 0$。然后从$0 \in \overline{C}$开始，在$C$上$\langle \alpha, x \rangle < k$。另一方面，$\tilde{\alpha} - \alpha$ 对 $C'$ 为正（§ 1, no. 8，命题 25）。因而，对于$y \in C_1$，我们有$\langle \alpha, y \rangle \leq \langle \tilde{\alpha}, y \rangle < 1 \leq k$。因而，$C$和$C_1$位于$L_{\alpha,k}$的同一侧。

现在让$\overline{\omega} \in P(R^-)$。然后$\overline{\omega} = \sum_i p_i \overline{\omega}_i$、$p_i \in \mathbf{Z}$ (§ 1, no. 10) 和$\overline{\omega} \in \overline{C'}$ 当且仅当整数 $p_i$ 为正。如果$\overline{\omega} \in \overline{C'}$，则$\overline{\omega} \in \overline{C}$当且仅当$\langle \tilde{\alpha}, \overline{\omega} \rangle = \sum_i n_i p_i$是$\leq 1$，因而(ii)。

这是从 (i) 得出的。

我们注首先根$w_i(\tilde{\alpha})$是形式

因此是*正*。

我们证明，如果$i \in J$，则$\gamma_i \in \Gamma_C$。事实上，让$a \in C$和$b = \gamma_i(a)$。对于 $1 \leq j \leq l$ 和 $j \neq i$，

因为$w_0(a) \in -C'$和$w_i(\alpha_j)$是负数。另一方面， 由于$w_0(a) \in -C'$、$\tilde{\alpha} - w_i(\alpha_i)$在$-C'$和$\langle w_0(a), \tilde{\alpha} \rangle > -1$上取负值值。最后， 因为$w_0(a) \in -C'$和$w_i(\tilde{\alpha})$是正根。 关系 (2)、(3) 和 (4) 那么意味着$b \in C$，因此意味着$\gamma_i \in \Gamma_C$。很明显，从 $\gamma_i(0) = \overline{\omega}_i$ 开始，映射 $i \mapsto \gamma_i$ 是*内射*。最后，让$\gamma \in \Gamma_C$与$\gamma \neq 1$，并将$\gamma = tw$与$t \in P$和$w \in W$。然后从 $\Gamma_C \cap W = \{1\}$ 开始$t \neq 1$。另一方面，$t(0) = \gamma(0) \in \overline{C} \cap P(R^-)$和命题5意味着存在$i \in J$使得$t(0) = \overline{\omega}_i$。然后是$\gamma_i^{-1}\gamma(0) = 0$，因此从$\Gamma_C \cap W = \{1\}$开始是$\gamma = \gamma_i$。这样就完成了证明。

事实上，如果我们将认同 $\Gamma_c$ 与 $P(R^-)/Q(R^-)$ 进行比较，则元素 $\gamma_i$ 就可以与 $\overline{\omega}_i$ mod 的类识别。 $Q(R^-)$。

设$(s_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$是$G'$在$G$的右陪集的代表族。令$U_1$为$s_\lambda U$的并。那么 $s'U_1$ 与 $s' \in G'$ 是成对的不相交的并且有并 $M = \bigcup_{s \in G} sU$。让$M' = \bigcup_{s' \in G'} s'U'$。 $U'$（分别为$U_1$）的并和$X - M'$（分别为$X - M$）的合适的子集是一个基本域，显然对于$G'$来说，$\mu$是可测量的。通过整合，第 1 章。 VII, § 2, no. 10，科。的 Th。 4、$\mu(U') = \mu(U_1)$。这证明了卡$\Lambda = (G : G')$是有限的，并且$\mu(U') = (\text{Card } \Lambda)\mu(U)$是有限的。

令$(\overline{\omega}_1, \ldots, \overline{\omega}_l)$为$P(R^-)$对$B$的基。由科。根据命题 5，具有顶点 $0, n_1^{-1} \overline{\omega}_1, \ldots, n_l^{-1} \overline{\omega}_l$ 的开单纯形 $C$ 是 $E$ 的凹室。 选择加法群 $V^*$ 上的哈尔措施$\mu$。设$A$为形式$\xi_1 \overline{\omega}_1 + \cdots + \xi_l \overline{\omega}_l$$V^*$元素集合，$0 < \xi_i < 1$为$i = 1, \ldots, l$。由科. 《积分》第 15 章第 2 条VII, § 1, no. 10,

另一方面，令$A'$为形式$V^*$元素集合 $0 < \xi_i < 1$ 为 $i = 1, \ldots, l$。由于$(\alpha_{\tilde{1}}, \ldots, \alpha_{\tilde{l}})$是$\mathbf{Z}$模块$Q(R^-)$的基，我们可以将引理1与$X = V^*$、$G = W_a$、$G' = Q$、$U = C$和$U' = A'$一起应用。这给出了

最后，可以再次应用引理 1，取X = V*、G = P、G' = Q、U = A 和 U' = A'。这给出了

命题现在通过比较公式 (5)、(6) 和 (7)。

我们注首先T上的假设意味着G是必要的：否则，仿射空间F将分解为乘积$F_0 \times F_1$，其中$\dim F_1 < l$，群G被识别为适当作用于的位移的群 $F_1$（第 V, § 3, no. 8 章，第 6 条命题），并且 T 不会是秩 l。

令$\mathfrak{H}_0$为$H \in \mathfrak{H}$的集合，使得$0 \in H$。对于$H \in \mathfrak{H}_0$，令$\mathfrak{H}_H$为与H平行的$\mathfrak{H}$的元素的集合。由于0是特殊的点，所以对于$H \in \mathfrak{H}_0$，$\mathfrak{H}$是$\mathfrak{H}_H$的并。由于 T 为秩 l，因此存在 $v \in F$，使得向量 v 属于翻译为 T 和 $v \notin H$。 超平面 $H + kv$ 对于 $k \in \mathbf{Z}$ 是成对不同的，属于到 $\mathfrak{H}_H$。现在令 a 为与 H 正交的 F 的单位向量：则 $H + (v|a)a \in \mathfrak{H}_H$ 并且由于 $\mathfrak{H}$ 是局部有限的（第 V, § 1, no. 1，引理 1），因此有最小的实数 $\lambda > 0$ 使得$H + \lambda a \in \mathfrak{H}$。我们将证明对于 $k \in \mathbf{Z}$，$\mathfrak{H}_H$ 是超平面 $H + k\lambda a$ 的集合。确实，

G 的元素 $s_{H'} \circ s_H$ 是向量 $2\lambda a$ 的翻译（V, § 2, no. 4 章，第 5 条命题）。因而，$H + 2n\lambda a = (s_{H'} s_H)^n(H)$和$H + (2n + 1)\lambda a = (s_{H'} s_H)^n(H')$属于到$\mathfrak{H}_H$。另一方面，如果 $L \in \mathfrak{H}_H$，则存在 $\xi \in \mathbf{R}$ 使得 $L = H + \xi \lambda a$ 并且存在整数 n 使得

$2n < \xi \leq 2n + 1$，或$2n - 1 < \xi \leq 2n$。

在第一种情况下，$(s_H s_{H'})^n(L) = H + (\xi - 2n)\lambda a$ 与

$\lambda$的定义意味着$\xi = 2n + 1$；在第二种情况下，

$\lambda$的定义意味着$\xi = 2n$。

因而，如果 $\alpha_H$ 是 $F$ 上的线性形式，使得

集合 $\mathscr{H}_H$ 是 $k \in \mathbf{Z}$ 的超平面 $L_{\alpha_H, k} = \{ x \in F \mid \langle \alpha_H, x \rangle = k \}$ 中的集合， 并且 $\alpha_H$ 和 $-\alpha_H$ 是唯一具有此性质的线性形式。

因而，如果我们证明形式$\pm \alpha_H$的V元素的集合R是V中的约化根系，命题就得证。

a) 我们证明条件 (RS_I)：显然 R 是有限的（因为 $\mathscr{H}_0$ 是有限的）并且不包含 0。此外，R 生成 V。事实上，如果$x \in F$与R正交，那么$x \in H$对于所有$H \in \mathscr{H}_0$，并且向量$x$的平移与G的每个元素可交换。由于G是必要的，这意味着$x = 0$。

b) 我们证明(RS_{II})。对于$v \in V$和$r \in \mathbf{R}$，将$L_{v, r} = \{ x \in F \mid \langle v, x \rangle = r \}$如上所述；如果$\alpha \in R$，则放入$H_\alpha = L_{\alpha, 0}$，并令$s_\alpha$为$s_{H_\alpha}$的转置。存在与 $H_\alpha$ 正交的唯一元素 $\alpha^\sim \in F$ 且$\langle \alpha^\sim, \alpha \rangle = 2$。然后是$s_{H_\alpha} = s_{\alpha^\sim, \alpha}$和$s_\alpha = s_{\alpha, \alpha^\sim}$。对于$\beta \in R$，

并且存在$\gamma \in R$和$n \in \mathbf{N}^*$使得$L_{s_\alpha(\beta), 1} = L_{\gamma, n}$。然后 所以$1/n \in \mathbf{Z}$。因而$n = 1$和$s_\alpha(\beta) = \gamma \in R$。这就证明了(RS_{II})。

c) 我们证明(RS_{III})。让$\alpha \in R$和集合$H'_\alpha = L_{\alpha, 1}$。然后

由于向量 $\alpha^\sim$ 的翻译 $t(\alpha^\sim)$ 是乘积 $s_{H'_\alpha} s_{H_\alpha}$（第 V, § 2, no. 4 章，第 5 条），它属于到 T，$\alpha^\sim = t(\alpha^\sim)(0)$ 对于 G 来说是一个特殊的点。因而，对于所有$\beta \in R$，存在超平面$L_{\beta, k}$经过到$\alpha^\sim$，有$k$整数，证明$\langle \beta, \alpha^\sim \rangle \in \mathbf{Z}$，并证明(RS_{III})。

d) 最后，很明显，如果 $H, H' \in \mathscr{H}_0, H \neq H'$、线性形式、$\alpha_H$ 和 $\alpha_{H'}$ 不成比例，则 R 会减小。

(i) 存在秩 l 的V的离散子群在G下是稳定的。 (ii) 在 G 下，V（代数，第 II, § 8, no. 1，定义 1）不变量存在$\mathbf{Q}$结构。 (iii) V中存在根系，其Weyl 群为G。 (iv) 存在离散的群$G'$位移V，正确作用于V，并由反射生成，使得$G'$是G的半直接乘积和秩l平移的群。

(ii) $\Longrightarrow$ (i)：令$V' \subseteq V$为G下V不变量上的$\mathbf{Q}$结构。令A为$V'$生成的的有限子集，$\mathbf{Q}$向量空间$V'$。 替换 A 乘以 $\bigcup_{s \in G} s(A)$，我们可以假设 A 在 G 下是稳定的。设 B 是由 A 生成的 V 的子群。则 B 在 G 下是稳定的，具有有限型并且无扭转，因此有基在 $\mathbf{Z}$ 上，两者都是$\mathbf{Q}$以上的$V'$的基和$\mathbf{R}$以上的V的基。

(iii) $\Longrightarrow$ (ii)：这源自于 § 1, no. 1 的第 1 条命题，对于例。 (iv)$\Longrightarrow$(iii)：令$G'$为群满足条件(iv)。 $G'$翻译的群是秩l，而0是第9章第9章的$G'$的特殊点。 V, § 3, no. 10。命题6证明$V^*$中存在约化根系$R_0$，使得$G'$与$W_\alpha(R_0)$一致； 群 G 就是 $R_0$ 的逆根系的 Weyl 群。

(i) $\Longrightarrow$ (iv)：假设 G 保持稳定，离散子群 M 为 V，秩 l。对于任何反射$s \in G$，$s(x) - x \in M$对于所有$x \in M$，因此与$H_s$正交的线$D_s$满足M；设$\alpha_s, -\alpha_s$为循环群$D_s \cap M$的生成元； $\alpha_s$和$-\alpha_s$的集合A在G下稳定，因此M的生成子群$M'$在G下稳定；离散群 $M'$ 为秩 l 因为 G 是必要的。令$G'$为V的仿射变换的群，即G的半直接乘积和向量属于到$M'$的平移的群。令 $G'_1$ 为 $G'$ 反射生成的 $G'$ 的子群。我们将证明$G'_1 = G'$，这将完成证明。首先，$G'_1 \supseteq G$，因为 G 是通过反射生成的。另一方面，对于 G 的任何反射 s，令 $t_s$ 为向量 $\alpha_s$ 的平移。变换$s \circ t_s$是反射，而$s \circ t_s \in G'$；因此$t_s$是$G'$的两次反射的乘积；对于 G 的每个反射 s 都是如此，向量属于到 $M'$ 的平移都在 $G'_1$ 中。