Bourbaki

习题 6, § 4

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李群与李代数, V

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

a) 设mm为整数≥2\geq 2或+∞+\infty。证明4cos⁡2πm∈Z4 \cos^2 \frac{\pi}{m} \in \mathbf{Z}等价于m∈{2,3,4,6,+∞}m \in \{2, 3, 4, 6, +\infty\}。

b) 令Γ\Gamma为EE中的格子，即秩dim⁡E\dim E的EE的离散子群。证明，如果Γ\Gamma在WW下稳定，则对于s≠s′s \neq s'，整数m(s,s′)m(s, s')所有属于到集合{2,3,4,6,+∞}\{2, 3, 4, 6, +\infty\}。 （观察对于所有w∈Ww \in W，Tr(σ(w))∈Z\mathrm{Tr}(\sigma(w)) \in \mathbf{Z}；将此结果应用于w=ss′w = ss'，并使用上面的a）。）

c) 假设 m(s,t)∈{2,3,4,6,,+∞}m(s, t) \in \{2, 3, 4, 6, , +\infty\} 对应 s≠t∈Ss \neq t \in S。正实数的(xs)s∈S(x_s)_{s \in S}族如果满足以下条件，则称为激进族：

m(s,t)=3  ⟹  xs=xtm(s,t)=4  ⟹  xs=2.xt or xt=2.xsm(s,t)=6  ⟹  xs=3.xt or xt=3.xsm(s,t)=+∞  ⟹  xs=xtor xs=2xt or xt=2xs. \begin{align*} m(s, t) = 3 &\implies x_s = x_t \\ m(s, t) = 4 &\implies x_s = \sqrt{2}.x_t \text{ or } x_t = \sqrt{2}.x_s \\ m(s, t) = 6 &\implies x_s = \sqrt{3}.x_t \text{ or } x_t = \sqrt{3}.x_s \\ m(s, t) = +\infty &\implies x_s = x_t \quad \text{or } x_s = 2x_t \text{ or } x_t = 2x_s. \end{align*}

如果(xs)s∈S(x_s)_{s \in S}是这样的家庭，则放入αs=xses\alpha_s = x_s e_s。表明

σs(αt)=αt−n(s,t)αs,with n(s,t)∈Z. \sigma_s(\alpha_t) = \alpha_t - n(s, t)\alpha_s, \quad \text{with } n(s, t) \in \mathbf{Z}.

推论出基(αs)s∈S(\alpha_s)_{s \in S}的格子Γ\Gamma在WW下是稳定的。

d) 对于c)中的假设，假设(W,S)(W, S)的图是一个森林。表明在这种情况下至少存在一个激进族(xs)(x_s)。 （通过 Card(S) 上的归纳进行论证；将归纳假设应用于 S - {s_0}，其中 s_0 是 S 图的终端顶点。）

e) 对于c)中的假设，假设(W,S)的图是一个电路。令 n_4（分别为 n_6）为该图的箭头 {s, t} 的数，其系数 m(s, t) 等于 4（分别为 6）。证明根族存在当且仅当 n_4 和 n_6 都是偶数时。如果不满足条件，则证明 E 的任何晶格在 W 下都是稳定的（如果 S = {s_1, ..., s_n}，其中 s_i 链接到 s_{i+1}，对于 1 \leq i \leq n-1，并且 s_n 链接到 s_1，则将 c = s_1 ... s_n 并证明 Tr(\sigma(c)) 不是整数）。

解答

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