Exercice 6, § 4

a) Soit $m$ un entier $\geqslant 2$, ou $+\infty$. Montrer que « $4 \cos^2 \frac{\pi}{m} \in \mathbf{Z}$ » équivaut à $« m \in \{2, 3, 4, 6, +\infty\} »$.

b) Soit $\Gamma$ un réseau de E, i.e. un sous-groupe discret de E de rang dim E. Montrer que, si $\Gamma$ est stable par W, les entiers $m(s, s')$ pour $s \neq s'$ appartiennent tous à l’ensemble $\{2, 3, 4, 6, +\infty\}$. (Observer que l’on a alors $\operatorname{Tr}(\sigma(w)) \in \mathbf{Z}$ pour tout $w \in W$; appliquer ce résultat à $w = ss'$, et utiliser a) ci-dessus.)

c) On suppose que $m(s, t) \in \{2, 3, 4, 6, +\infty\}$ pour $s \neq t \in S$. Une famille $(x_s)_{s \in S}$ de nombres réels positifs est dite radicielle si elle vérifie les conditions suivantes :

Si $(x_s)$ est une telle famille, on pose $\alpha_s = x_s e_s$. Montrer que l’on a

En déduire que le réseau $\Gamma$ de base $(\alpha_s)_{s \in S}$ est stable par W.

d) Les hypothèses étant celles de c), on suppose que le graphe de $(W, S)$ est une forêt. Montrer qu’il existe alors au moins une famille radicielle $(x_s)$. (Raisonner par récurrence sur Card (S); appliquer l’hypothèse de récurrence à $S - \{s_0\}$, où $s_0$ est un sommet terminal du graphe de S.)

e) Les hypothèses étant celles de c), on suppose que le graphe de $(W, S)$ est un circuit. Soit $n_4$ (resp. $n_6$) le nombre d’arêtes $\{s, t\}$ de ce graphe dont le coefficient $m(s, t)$ est égal à 4 (resp. à 6). Montrer que, pour qu’il existe une famille radicielle, il faut et il suffit que $n_4$ et $n_6$ soient tous deux pairs. Si cette condition n’est pas réalisée, montrer qu’il n’existe aucun réseau de E qui soit stable par W (si $S = \{s_1, \ldots, s_n\}$, avec $s_i$ lié à $s_{i+1}$ pour $1 \leq i \leq n-1$, et $s_n$ lié à $s_1$, on posera $c = s_1 \ldots s_n$, et l’on montrera que $\operatorname{Tr}(\sigma(c))$ n’est pas un entier).