Bài tập 6, § 4

a) Cho $m$ là một số nguyên $\geq 2$, hoặc $+\infty$. Chứng minh rằng $4 \cos^2 \frac{\pi}{m} \in \mathbf{Z}$ tương đương với $m \in \{2, 3, 4, 6, +\infty\}$.

b) Cho $\Gamma$ là một dàn trong $E$, nghĩa là một nhóm con rời rạc của $E$ có hạng $\dim E$. Chứng minh rằng, nếu $\Gamma$ ổn định dưới $W$, các số nguyên $m(s, s')$ với $s \neq s'$ đều thuộc tập hợp $\{2, 3, 4, 6, +\infty\}$. (Nhận xét rằng $\mathrm{Tr}(\sigma(w)) \in \mathbf{Z}$ với mọi $w \in W$; áp dụng kết quả này cho $w = ss'$, và sử dụng a) ở trên.)

c) Giả sử rằng $m(s, t) \in \{2, 3, 4, 6, , +\infty\}$ với $s \neq t \in S$. Một họ $(x_s)_{s \in S}$ các số thực dương được gọi là căn nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

Nếu $(x_s)_{s \in S}$ là một họ như vậy, đặt $\alpha_s = x_s e_s$. Chứng minh rằng

Suy ra rằng dàn $\Gamma$ có cơ sở $(\alpha_s)_{s \in S}$ là ổn định dưới $W$.

d) Với các giả thiết trong c), giả sử rằng đồ thị của $(W, S)$ là một rừng. Chứng minh rằng trong trường hợp đó tồn tại ít nhất một họ căn $(x_s)$. (Lập luận bằng quy nạp theo Card(S); áp dụng giả thiết quy nạp cho S - {s_0}, trong đó $s_0$ là một đỉnh tận cùng của đồ thị của S.)

e) Với các giả thiết trong c), giả sử rằng đồ thị của (W, S) là một chu trình. Gọi $n_4$ (tương ứng $n_6$) là số các mũi tên $\{s, t\}$ của đồ thị này có hệ số $m(s, t)$ bằng 4 (tương ứng 6). Chứng minh rằng một họ căn tồn tại khi và chỉ khi $n_4$ và $n_6$ đều chẵn. Nếu điều kiện này không thỏa mãn, chứng minh rằng không có dàn nào của $E$ là ổn định dưới $W$ (nếu S = {s_1, ..., s_n}, với $s_i$ liên kết với $s_{i+1}$ với $1 \leq i \leq n-1$, và $s_n$ liên kết với $s_1$, đặt c = s_1 ... s_n và chứng minh rằng $\mathrm{Tr}(\sigma(c))$ không phải là một số nguyên).