习题 5, § 2

假设$R$是不可约的，并且选择是$V$中$R$的室$C$；用 $R$ 的 $B$ 相应的基表示。

a) 证明$P(R)/Q(R)$的非零元素的$P(R)$中的代表$R$形式系统的极小权(§ 1，练习24)。 （适用于第 6 条命题的推论$R^-$。）

b) 令 $X$ 为 $Q(R)$ 的饱和子集（§ 1，练习 23）。假设$X$非空且未减少到$\{0\}$。令 $p$ 为最小长度的 $X$ 的非零元素。证明$p \in R$。 （鉴于a），$p$不满足条件（ii）Exerc。 § 1 中的 24 个；因此，存在 $\alpha \in R$ 使得 $\langle p, \alpha^* \rangle \geq 2$，因此 p - α ∈ X。由于 p - α 的长度严格小于 p 的长度，因此 p - α = 0，因此 p ∈ R。）

c) 设 p 是 Q(R) 的主导权而不是属于。证明由 p (cf. § 1, 练习 23) 包含生成的饱和子集 S(p) 是唯一的极小权。 （注 S(p) 包含在非平凡的类 mod. Q(R) 中；结论由应用 a）和 Exerc。 § 1 的 24 c)。）

d) 设 p 是 Q(R) 的主导权而不是属于。证明以下两个性质是等价的：

(i) p 很小。

(v) 不存在显性权 q ≠ p 使得 p - q 是 B 的元素的线性组合，且系数为非负整数。

（如果 q 满足 (v) 的条件，则令 p₁ 为 S(q) 的极小权属于。然后，p₁ ≡ p mod。Q(R)，p₁ < p，a) 表明 p 不小。因此，(i)⇒(v)。相反，如果 p 不小，则令 q ∈ S(p) - W.p；如有必要，将 q 变换为 W 的元素，我们可以假设 q ∈ C̄；通过锻炼。 23 of § 1，q < p，q ≠ p，且 q ≠ p mod。 Q(R)。因此，(v) ⇒ (i)。）