Bài tập 5, § 2

Giả sử rằng $R$ là bất khả quy, và chọn một ngăn $C$ của $R$ trong $V$; ký hiệu $B$ là cơ sở tương ứng của $R$.

a) Chứng minh rằng các trọng lượng minuscule (§ 1, Exerc. 24) của $R$ tạo thành một hệ các đại diện trong $P(R)$ của các phần tử khác không của $P(R)/Q(R)$. (Áp dụng cho $R^-$ hệ quả của Mệnh đề 6.)

b) Cho $X$ là một tập con bão hòa của $Q(R)$ (§ 1, Exerc. 23). Giả sử rằng $X$ không rỗng và không thu gọn về $\{0\}$. Cho $p$ là một phần tử khác không của $X$ có độ dài cực tiểu. Chứng minh rằng $p \in R$. (Theo a), $p$ không thỏa mãn điều kiện (ii) của Exerc. 24 của § 1; do đó, tồn tại $\alpha \in R$ sao cho $\langle p, \alpha^* \rangle \geq 2$, nên p - α ∈ X. Vì độ dài của p - α nhỏ hơn độ dài của p, p - α = 0 nên p ∈ R.)

c) Cho p là một trọng số trội không thuộc Q(R). Chứng minh rằng tập con bão hòa S(p) sinh bởi p (xem § 1, Exerc. 23) chứa một trọng lượng minuscule duy nhất. (Nhận xét rằng S(p) được chứa trong một lớp không tầm thường mod. Q(R); kết luận bằng cách áp dụng a) và Exerc. 24 c) của § 1.)

d) Cho p là một trọng số trội không thuộc Q(R). Chứng minh rằng hai tính chất sau là tương đương:

(i) p là minuscule.

(v) Không tồn tại trọng số trội q ≠ p sao cho p - q là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử của B với các hệ số nguyên không âm.

(Nếu q thỏa mãn các điều kiện của (v), cho p₁ là một trọng lượng minuscule thuộc S(q). Khi đó, p₁ ≡ p mod. Q(R), p₁ < p, và a) cho thấy rằng p không là minuscule. Do đó, (i) ⇒ (v). Ngược lại, nếu p không là minuscule, cho q ∈ S(p) - W.p; biến đổi q bởi một phần tử của W nếu cần thiết, ta có thể giả sử rằng q ∈ C̄; theo Exerc. 23 của § 1, q < p, q ≠ p, và q ≡ p mod. Q(R). Do đó, (v) ⇒ (i).)