Exercice 5, § 2

On suppose R irréductible, et l’on choisit une chambre C de R dans V; on note B la base de R correspondante.

a) Montrer que les poids minuscules (§ 1, exerc. 24) de R forment un système de représentants dans $P(R)$ des éléments non nuls de $P(R)/Q(R)$. (Appliquer à $R^\vee$ le corollaire de la prop. 6.)

b) Soit X une partie saturée (§ 1, exerc. 23) de $Q(R)$. On suppose X non vide et non réduite à $\{0\}$. Soit $p$ un élément non nul de X de longueur minimale. Montrer que $p \in R$. (Vu a), $p$ ne vérifie pas la condition (ii) de l’exerc. 24 du § 1 ; il existe donc $\alpha \in R$ tel que $\langle p, \alpha^\vee \rangle \geq 2$, d’où $p - \alpha \in X$. Comme $p - \alpha$ est de longueur strictement inférieure à la longueur de $p$, on a $p - \alpha = 0$, d’où $p \in R$.)

c) Soit $p$ un poids dominant n’appartenant pas à $Q(R)$. Montrer que le saturé $S(p)$ de $p$ (cf. § 1, exerc. 23) contient un poids minuscule et un seul. (Remarquer que $S(p)$ est contenu dans une classe non triviale mod. $Q(R)$; conclure en appliquant a) et l’exerc. 24 c) du § 1.)

d) Soit $p$ un poids dominant n’appartenant pas à $Q(R)$. Démontrer l’équivalence des deux propriétés suivantes :

(i) $p$ est minuscule.

(v) Il n’existe pas de poids dominant $q \neq p$ tel que $p - q$ soit combinaison linéaire à coefficients entiers $\geq 0$ des éléments de B.

(Si $q$ vérifie les conditions de (v), soit $p_1$ un poids minuscule appartenant à $S(q)$. On a $p_1 \equiv p$ mod. $Q(R)$, $p_1 < p$, et a) montre que $p$ n’est pas minuscule. Donc (i) $\Longrightarrow$ (v). Inversement, si $p$ n’est pas minuscule, soit $q \in S(p) - W.p$; quitte à transformer $q$ par $W$, on peut supposer que $q \in \overline{C}$; d’après l’exerc. 23 du § 1, on a $q < p$, $q \neq p$, et $q \equiv p$ mod. $Q(R)$. D’où (v) $\Longrightarrow$ (i).)

(*) Cet exercice, inédit, nous a été communiqué par R. Steinberg.