令 $(p_1, p_2, \ldots, p_l)$ 为 P 的基，且 $X_1, X_2, \ldots, X_l$ 为不定数。从$A[X_1, \ldots, X_l, X_1^{-1}, \ldots, X_l^{-1}]$到$A[P]$需要$X_1^{n_1} X_2^{n_2} \ldots X_l^{n_l}$（其中$n_1, n_2, \ldots, n_l \in \mathbf{Z}$）到$e^{n_1 p_1 + \cdots + n_l p_l}$的A线性映射是环的同构。现在$A[X_1, \ldots, X_l]$是阶乘环（*交换代数*，第VII, § 3, no. 5章），而$A[X_1, \ldots, X_l, X_1^{-1}, \ldots, X_l^{-1}]$是$A[X_1, \ldots, X_l]$的分数的环，因此也是阶乘。

令$P'$（分别为$P''$）为P 的元素中的集合，其中一些倍数、属于到$\mathbf{Z}u + \mathbf{Z}v$（分别为$\mathbf{Z}u$）。则群 $P/P'$ 和 $P'/P''$ 是无扭的，因而 $P'$ 中存在 $P''$ 的补集，P 中存在 $P'$ 的补集。因而，存在 $\mathbf{Z}$ 模 P 的基 $(z_1, z_2, \ldots, z_l)$ 和有理数整数$j, m, n$使得$u = jz_1, v = mz_1 + nz_2, j > 0, n > 0$。将 $X_i = e^{z_i}$ 代入 $1 \leq i \leq l$，则得到 $1 - e^u = 1 - X_1^j, 1 - e^v = 1 - X_1^m X_2^n$。设K为A的分数域代数闭包，则$A[P]$可以与环$B = K[X_1, \ldots, X_l, X_1^{-1}, \ldots, X_l^{-1}]$的子环识别。对于单位元 $z$ 中的任何$j$第根，$1 - zX_1$ 是极值

而且，$1 - zX_1$包含生成的理想在$X_i$中没有单项式。我们结论认为B的理想$(1 - zX_1)B$是高度为1的素理想

（交换代数，第VII, § 1, no. 6），因而$1 - zX_1$在B中是极值。因而，B中$1 - X_1^j$的极值因子是形式$1 - zX_1$。现在B中的这些因子除$1 - X_1^m X_2^n$（对于从B到B的同态$f$，使得$f(X_1) = z^{-1}, f(X_i) = X_i$对于$i \geq 2$来说，满足

因而，$1 - X_1^j$和$1 - X_1^m X_2^n$在B中互质。因而，$A[P]$中$1 - X_1^j$和$1 - X_1^m X_2^n$的任何公共的除子在B中都是可逆的，因而，直到形式的乘法乘元素 $X_1^{k_1} X_2^{k_2} \ldots X_l^{k_l}$，等于A的元素$a$；在其他字中，$a$ 除 1 在 A 中，因此在 A 中可逆。因而，最终，$1 - X_1^j$ 和 $1 - X_1^m X_2^n$ 在 $A[P]$ 中互质。

输入$x = \sum_p x_p e^p, y = \sum_r y_r e^r$和$xy = \sum_t z_t e^t$。然后 $r \leq q$ 对于所有 $r \in P$ 使得 $y_r \neq 0$ 和 $z_t = \sum_{p+r=t} x_p y_r$。

如果$t = p + q = p' + r$与$p \in X$和$x_{p'} y_r \neq 0$，则$r \leq q$，因而$p' \geq p$，进而$p' = p$。因而$z_{p+q} = x_p y_q = x_p \neq 0$。这表明$X + q$包含在乘积$xy$的支撑中。

另一方面，如果 $t = p' + r$ 和 $x_{p'} y_r \neq 0$，则存在 $p \in X$，使得 $p' \leq p$ 并且我们有 $t \leq p + q$。因而$xy$的最大支持度包含在$X + q$中。由于$X + q$中没有两个元素具有可比性，因而$X + q$恰好是$xy$的最大支持度，并且我们在上面看到了$p \in X$的$z_{p+q} = x_p$，它完成了引理的证明。

权 $w(p)$ 对于 $w \in W$ 和 $p \in P \cap C$ 是成对不同的。由此可见，$J(e^p)$ 与 $p \in P \cap C$ 是线性无关的。

另一方面，令 $x = \sum_p x_p e^p$ 为 $A[P]$ 的反不变量元素。如果 $p_0$ 属于到一堵墙，它在反射 $s \in W$ 下是不变的，并且

由此可知$2x_{p_0} = 0$，所以$x_{p_0} = 0$。由于每个不与任何墙属于相关的元素都可以用 $w \in W$ 和 $p \in P \cap C$ 唯一地写成形式 $w(p)$，因此我们有 由于$w(x) = \sum_p x_p e^{w(p)} = \varepsilon(w) \sum_p x_p e^p$、$x_{w(p)} = \varepsilon(w)x_p$，我们从 (2) 推出 完成证明。

现在考虑代数 $A[\frac{1}{2}P]$ 的元素 $d$ 定义为

从$\rho \in P$、$d \in A[P]$开始。

我们知道，对于$1 \leq i \leq l$，除了$\alpha_i$和$s_i(\alpha_i) = -\alpha_i$之外，反射$s_i = s_{\alpha_i}$使正根的集合保持稳定（§ 1, no. 6，第17条命题的Cor.1）。因此，

由于$s_i$生成$W$，这证明了(i)中的第一个断言。 (i) 中的第二个断言紧随 (3) 和引理 2，注意 1 是 $1 - e^{-\alpha}$ 对于 $\alpha \in R, \alpha > 0$ 的唯一最大值项。

现在假设$A = \mathbf{Z}$。根据命题 1，

另一方面，很明显

如果$p \in P \cap C$与$p \neq \rho$，则$p > \rho$和$d$中$e^p$的系数由(5)得出零。因此，$c_p = 0$。此外，比较（4）和（5）中$e^\rho$的系数表明$c_\rho = 1$，因此$d = J(e^\rho)$。

我们继续假设$A = \mathbf{Z}$。令$p \in P, \alpha \in \mathbf{R}$和$M$为系统，代表元$W$关于子群$\{1, s_\alpha\}$的右陪集。然后，

现在$s_\alpha w(p) = w(p) - \langle \alpha^*, w(p) \rangle \alpha = w(p) + n_w \alpha$，还有$n_w \in \mathbf{Z}$。因此，

如果$n_w \geq 0$，显然$1 - e^{n_w \alpha}$可以被$1 - e^\alpha$整除，并且从$1 - e^{n_w \alpha} = -e^{n_w \alpha}(1 - e^{-n_w \alpha})$开始，当$n_w < 0$时也是如此。因此，在 $\mathbf{Z}[P]$ 中，$J(e^p)$ 可以被 $1 - e^\alpha$整除。

通过引理 1，$\mathbf{Z}[P]$ 是阶乘，元素 $1 - e^\alpha$ $\alpha \in \mathbf{R}$ 和 $\alpha > 0$ 互质。由此可见，$J(e^p)$ 在 $\mathbf{Z}[P]$ 中可被乘积 $\prod_{\alpha > 0} (1 - e^\alpha)$整除，因此也可被 $d = e^{-\rho} \prod_{\alpha > 0} (1 - e^\alpha)$整除。

回到一般情况，通过从$\mathbf{Z}$到$A$的标量扩张，我们从上面推出$d = J(e^\rho)$，并且每个元素$J(e^p)$都可以被$d$整除。由于$e^\rho$是$d$的唯一极大值项，no. 2的注表明存在唯一元素$y \in A[P]$使得$J(e^p) = dy$并且紧接着$y$在$W$下不变，并且因此$d$和$J(e^p)$是反对不变的。这就证明了(i)和(ii)。

最后，如果2不是$A$中的零因子，则no. 2的注和命题1意味着(iii)。

由此得出(b)。因此$J' \in \mathfrak{S}$是一个矛盾。由此，$J = I$和引理得证。

我们现在证明第 3 条命题。我们将引理 4 与 $I = P \cap \overline{C}$ 一起应用。令$q \in I$，并令$I_q$为$p \in I$的集合，使得$p \leq q$。如果$p \in I_q$，关系

暗示 因此 因此集合$I_q$是*有界的*。由于 $I$ 是离散的，因此$I_q$ 是*有限*，并且显然 $I$ 满足条件 (MIN)。另一方面，对于所有$p \in I$， 所以由（6）。 命题现在紧随引理 3 和 4。

引理 2 意味着单项式 $X_1^{n_1} \ldots X_l^{n_l}$ 的 $\varphi$ 下的像是元素，且唯一最大值为项 $e^{n_1 \overline{\omega}_1 + \cdots + n_l \overline{\omega}_l}$。由于 $P \cap \overline{C}$ 的每一个元素都可以唯一地写成形式 $n_1 \overline{\omega}_1 + \cdots + n_l \overline{\omega}_l$，因此命题 3 表明，单项式 $X_1^{n_1} \ldots X_l^{n_l}$ 的 $\varphi$ 下的像是 $A[P]^W$ 的基，因此定理。