习题 1, § 6

令 R 为实数向量空间 V 中的约化根系。给空间V一个在W(R)下不变的标量乘积，以及空间$\mathbf{S}(V)$相应的标量乘积（拓扑向量空间，第V, §3, no. 3，公式） （13）和（14））；因此，对于V中的$x_1, . . . , x_n, y_1, . . . , y_n$，

R的选择室C；把 N = Card(R$_+$)$,\rho =\frac{1}{2}\sum_{\alpha\in R_+}\alpha$ 和 $w(R) =$

卡(W(R))。令 P 为 $\mathbf{S}^N(V)$ 的元素 $\prod_{\alpha\in R_+}\alpha$。

a) 证明 $P =\frac{1}{N!}\sum_{w\in W(R)}\varepsilon (w)(w\rho )^N$（cf. 第 VI, §3, no. 3 章，命题 2）。

b) 推导出等式 $(P|P) =w(R)\prod_{\alpha\in R_+}(\rho |\alpha )$。

c) 证明 $(P|P) = 2^{-N}w(R)\prod_{i=1}^lm_i$!$\prod_{\alpha\in R_+}(\alpha |\alpha ) = 2^{-N}\prod_{i=1}^l(m_i$+1)!$\prod_{\alpha\in R_+}(\alpha |\alpha )$,

其中 $m_1, . . . , m_l$ 是 W(R) 的指数（使用第 VIII, §9 章的练习 3）。