Exercice 1, § 6

Soit R un système de racines réduit dans un espace vectoriel réel V. On munit l’espace V d’un produit scalaire invariant par W(R), et l’espace $S(V)$ du produit scalaire correspondant (EVT, V, p. 30) ; on a donc, pour $x_1, ..., x_n, y_1, ..., y_n$ dans V :

On choisit une chambre C de R ; on pose $N = \mathrm{Card}(R_+)$, $\rho = \frac{1}{2} \sum_{\alpha \in R_+} \alpha$ et $w(R) = \mathrm{Card}(W(R))$.

Soit P l’élément $\prod_{\alpha \in R_+} \alpha$ de $S^N(V)$.

a) Montrer qu’on a $P = \frac{1}{N!} \sum_{w \in W(R)} \varepsilon(w) (w\rho)^N$ (cf. VI, § 3, no 3, prop. 2). b) En déduire l’égalité $(P|P) = w(R) \prod_{\alpha \in R_+} (\rho|\alpha)$. c) Démontrer qu’on a $(P|P) = 2^{-N} w(R) \prod_{i=1}^l m_i! \prod_{\alpha \in R_+} (\alpha|\alpha) = 2^{-N} \prod_{i=1}^l (m_i + 1)! \prod_{\alpha \in R_+} (\alpha|\alpha)$, où $m_1, ..., m_l$ sont les exposants de W(R) (utiliser l’exerc. 3 de VIII, § 9).