§ 9. 。魏尔公式 · 李群与李代数

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§ 9。魏尔公式

在本段中，我们保留了§6和§7的通用记号。

1. 特征标有限维 $\mathfrak{g}$ -模块

令 $(e^{\lambda})_{\lambda\in\mathfrak{h}^*}$ 为环 $\mathbf{Z}[\mathfrak{h}^*]$ 中的典范基。给出因子上离散拓扑从 $\mathfrak{h}^*$ 到 $\mathbf{Z}$ 乘积拓扑的所有映射的空间 $\mathbf{Z}^{\mathfrak{h}^*}$ 。如果 $\varphi \in \mathbf{Z}^{\mathfrak{h}^*}$ ，则族 $(\varphi (\nu )e^{\nu})_{\nu\in\mathfrak{h}^*}$ 是可求和的，并且

\varphi =\sum_{\nu\in\mathfrak{h}^*}\varphi (\nu )e^{\nu}

令 $\mathbf{Z}\langle P\rangle$ 为 $\varphi \in \mathbf{Z}^{\mathfrak{h}^*}$ 的集合，其支撑包含在形式 $\nu -P_+$ 的集合的有限并中，其中 $\nu \in \mathfrak{h}^*$ 。然后 $\mathbf{Z}[P]\subset \mathbf{Z}\langle P\rangle \subset \mathbf{Z}^{\mathfrak{h}^*}$ 。定义在 $\mathbf{Z}\langle P\rangle$ 环结构上通过放置来扩展 $\mathbf{Z}[P]$ ，对于 $\varphi , \psi \in \mathbf{Z}\langle P\rangle$ 和 $\nu \in \mathfrak{h}^*$ ，

(\varphi \psi )(\nu ) =\sum_{\mu\in\mathfrak{h}^*}\varphi (\mu)\psi (\nu -\mu)

（ $(\varphi (\mu)\psi (\nu -\mu))_{\mu\in\mathfrak{h}^*}$ 家庭有有限支撑，因为条件满足于 $\varphi$ 和 $\psi$ 的支持）。如果 $\varphi =\sum_{\nu}x_{\nu}e^{\nu}$ 和 $\psi =\sum_{\nu}y_{\nu}e^{\nu}$ ，则 $\varphi \psi =\sum_{\nu ,\mu}x_{\nu}y_\mu e^{\nu+\mu}$ 。

让 $\nu \in \mathfrak{h}^*$ 。 $\nu$ 的划分转化为正根是一个族 $(n_{\alpha})_{\alpha\in R_+}$ ，其中 $n_{\alpha}$ 是整数 $\geq 0$ 使得 $\nu =\sum_{\alpha\in R_+}n_{\alpha}\alpha$ 。我们将 $\nu$ 的划分的 $\mathfrak{P}(\nu )$ 数表示为正根。我们有

\mathfrak{P}(\nu )>0\Leftarrow \Rightarrow \nu \in Q_+

在本段中，我们用 K 表示 $\mathbf{Z}\langle P\rangle :$ 的以下元素

K =\sum_{\gamma\in Q_+}\mathfrak{P}(\gamma )e^{-\gamma}

现在回想一下（第 VI, §3, no. 3 章，命题 2）

d=\prod_{\alpha\in R_+}(e^{\alpha /2}-e^{-\alpha /2}) =\sum_{w\in W}\varepsilon (w)e^{w\rho}

是 $\mathbf{Z}[P]$ 的反不变量元素。

引理 1 015T

在环 $\mathbf{Z}\langle P\rangle$ ，我们有 $K.\prod_{\alpha\in R_+}(1-e^{-\alpha}) = Ke^{-\rho}d= 1$ 。

被以下引用 2

被以下引用引理 2, 命题 1

确实，

K =\prod_{\alpha\in R_+}(e^0+e^{-\alpha}+e^{-2\alpha}+\cdots )

所以

Ke^{-\rho}d=\prod_{\alpha\in R_+}(1 +e^{-\alpha}+e^{-2\alpha}+\cdots )\prod_{\alpha\in R_+}(1-e^{-\alpha}) = 1

引理 2 015U

让 $\lambda \in \mathfrak{h}^*$ 。模 $Z(\lambda ) ($ §6, no. 3）承认特征标是 $\mathbf{Z}\langle P\rangle$ 的元素，我们有 $d$ 。第 $Z(\lambda ) =e^{\lambda+\rho}$ 。

引用了 3

引用了 VIII § 6. 。模超过分裂的半单李代数, 命题 6, VIII § 6, 引理 1

令 $\alpha_1, . . . , \alpha_q$ 不同于元素或 $R_+$ 。 $Z(\lambda ) ($ §6 的 $X_{-\alpha_1}^{n_1}X_{-\alpha_2}^{n_2}. . . X_{-\alpha_q}^{n_q}\otimes 1$ 形式基，第 6 (iii) 条提案）。对于 $h\in \mathfrak{h}$ ，我们有

h.(X_{-\alpha_1}^{n_1}X_{-\alpha_2}^{n_2}. . .X_{-\alpha_q}^{n_q}\otimes 1)

= [h, X_{-\alpha_1}^{n_1}. . . X_{-\alpha_q}^{n_q}]\otimes 1 + (X_{-\alpha_1}^{n_1}. . . X_{-\alpha_q}^{n_q})\otimes h.1

= (\lambda -n_1\alpha_1- \cdots -n_q\alpha_q)(h)(X_{-\alpha_1}^{n_1}. . . X_{-\alpha_q}^{n_q}\otimes 1)

因此， $Z(\lambda )^{\lambda-\mu}$ 的维数是 $\mathfrak{P}(\mu)$ 。这证明 ch $Z(\lambda )$ 已定义，是 $\mathbf{Z}\langle P\rangle$ 的元素，并且

第 $Z(\lambda ) =\sum_\mu\mathfrak{P}(\mu)e^{\lambda-\mu}= Ke^{\lambda}$ 。

现在只需应用引理 1即可。

引理 3 015V

设 M 是一个 $\mathfrak{g}$ 模，它承认特征标 ch(M)，其支持包含在集合 $\mu-P_+$ 的有限并中。令U为 $\mathfrak{g}$ 的包络代数，U $,\lambda_0\in \mathfrak{h}^*$ 的Z中心，以及从Z到 $k($ §8的 $\chi_{\lambda_0}$ 相应的同态，Cor。 1 Th。 2）。假设对于所有 $z\in Z,z_M$ 都是位似，比率为 $\chi_{\lambda_0}(z)$ 。令 $D_M$ 为 $\lambda \in W(\lambda_0+\rho )-\rho$ 的集合，使得 $\lambda + Q_+$ 满足Supp(ch M)。那么 ch(M) 是 ch $Z(\lambda )$ 对于 $\lambda \in D_M$ 的 $\mathbf{Z}$ 线性组合。

引用了 4 · 被以下引用 1

引用了推论 1, VIII § 8, 命题 6, VIII § 6, VIII § 7. 。有限维模超过分裂的半单李代数, 命题 1, VIII § 6

被以下引用定理 1（H. Weyl 的特征标公式）

如果 Supp(ch M) 为空，则引理清零。假设 Supp(ch $M$ ) $\not=\emptyset$ 。令 $\lambda$ 为该支撑的极大元素，并设置暗淡 $M^{\lambda}=m$ 。从 $(Z(\lambda ))^m$ 到M存在 $\mathfrak{g}$ 同态 $\varphi$ ，其中映射 $(Z(\lambda )^{\lambda})^m$ 双射到 $M^{\lambda}($ §6, no. 3，命题6（i））。因此， $Z(\lambda )$ 的中心特征标是 $\chi_{\lambda_0}$ ，所以 $\lambda \in W(\lambda_0+\rho )-\rho ($ §8, no. 5，Cor。 1 Th。 2）。这证明了 $D_M\not=\emptyset$ ，并且允许我们通过卡 $D_M$ 上的归纳进行争论。设L和N为 $\varphi$ 的核和余核。那么我们有正合序列的 $\mathfrak{g}$ 同态：

0\rightarrow L\rightarrow (Z(\lambda ))^m\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow 0

所以

ch(M) $=-$ ch(L) $+m$ ch $Z(\lambda ) +$ ch(N)

（§7, no. 7，公式（6））。集合 Supp(ch L) 和 Supp(ch N) 包含在集合 $\mu-P_+$ 的有限并中。对于 $z\in Z,z_L$ 和 $z_N$ 来说，是同位比 $\chi_{\lambda_0}(z)$ 。显然， $D_N\subset D_M$ 。另一方面， $(\lambda + Q_+)\cap$ Supp(ch $M$ ) $=\{\lambda \}$ 和 $\lambda \notin$ Supp(ch N)，所以 $\lambda \notin D_N$ 和

卡 $D_N<$ 卡 $D_M$ 。

另一方面，L是 $(Z(\lambda ))^m$ 中的子模；如果 $\lambda '\in D_L$ ，则 $\lambda '+ Q_+$ 满足 Supp(ch $L$ ) $\subset$ Supp ch $Z(\lambda )$ ，因此 $\lambda \in \lambda '+ Q_+($ §6, no. 1，命题 1 (ii))；由此可见 $D_L\subset D_M$ 。从 $L\cap (Z(\lambda )^{\lambda})^m= 0$ 开始，我们有 $\lambda \notin D_L$ ，所以

卡 $D_L<$ 卡 $D_M$ 。

现在申请归纳假设就足够了。

定理 1（H. Weyl 的特征标公式） 015W

设 M 为有限维简单 $\mathfrak{g}$ 模，且 $\lambda$ 为最高权。然后

引用了 3 · 被以下引用 5

引用了命题 7, VIII § 6, 引理 3, VIII § 7. 。有限维模超过分裂的半单李代数

被以下引用定理 4, I § 6, 注 3, IX § 7, 命题 1, 命题 2, 定理 2

$(\sum_{w\in W}\varepsilon (w)e^{w\rho})$ .ch $M =\sum_{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda+\rho)}$ .

当记号为引理 3 时，M 的中心特征标为 $\chi_{\lambda}($ §6, no. 4，命题 7）。因此，通过引理 2 和 $3,d$ .ch M 是 $e^{\mu+\rho}$ 的 $\mathbf{Z}$ 线性组合，使得

\mu+\rho \in W(\lambda +\rho )

另一方面，由 §7, no. 7，引理 $7,d$ .ch M 是反不变的，其唯一的最大值项是 $e^{\lambda+\rho}$ ，因此是定理。

例 015X

取 $\mathfrak{g}=\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k),\mathfrak{h}=kH$ 。令 $\alpha$ 为 $(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ 的根，使得 $\alpha (H) = 2$ 。 $\mathfrak{g}$ -模块 $V(m)$ 有最高权 $(m/2)\alpha$ 。因此

ch(V( $m$ )) $= (e^{(m/2)\alpha+^1_2\alpha}-e^{-(m/2)\alpha-^1_2\alpha})/(e^{^1_2\alpha}-e^{-^1_2\alpha})$

=e^{-(m/2)\alpha}.(e^{(m+1)\alpha}-1)/(e^{\alpha}-1)

=e^{-(m/2)\alpha}(e^{m\alpha}+e^{(m-1)\alpha}+\cdots + 1)

=e^{(m/2)\alpha}+e^{(m-2)\alpha /2}+\cdots +e^{-(m/2)\alpha}

这也很容易从§1, no. 2，提案 2 得出。

引用了 1

引用了命题 2, VIII § 1

2. 维数简单 $\mathfrak{g}$ 模块

如果 $\mu\in \mathfrak{h}^*$ ，则放入 $J(e^\mu) =\sum_{w\in W}\varepsilon (w)e^{w\mu}$ ，cf. VI, §3, no. 3。

定理 2 015Y

设 E 为有限维简单 $\mathfrak{g}$ 模， $\lambda$ 为最高权， $(\cdot | \cdot )$ 为 $\mathfrak{h}^*$ 上的 W 不变非简并正对称双线性形式。然后：

\prod\langle \lambda +\rho , H_{\alpha}\rangle \prod((\lambda |\alpha ))

引用了 2 · 被以下引用 5

引用了 VI § 3. 。指数不变量, 定理 1（H. Weyl 的特征标公式）

被以下引用 VIII § 13. 。经典可拆分简单李代数, 习题 11, § 9, 习题 16, § 9, 习题 7, § 9, 习题 8, § 9

昏暗E = = 1 +。

_{\alpha\in R_+}\langle \rho , H_{\alpha}\rangle_{\alpha\in R_+}\overline{(\rho|\alpha)}

设 T 为不定式。对于所有 $\nu \in P$ ，用 $f_{\nu}$ 同态表示从 $\mathbf{Z}[P]$ 到 $\mathbf{R}[[T]]$ ，对于所有 $\mu\in P$ 需要 $e^\mu$ 到 $e^{(\nu|\mu)T}$ 。那么dim E就是级数 $f_{\nu}$ (ch E)的常数项。

对于所有 $\mu, \nu \in P$ ，我们有

f_{\nu}(J(e^\mu)) =\sum_{w\in W}\varepsilon (w)e^{(\nu|w\mu)T}

=\sum_{w\in W}\varepsilon (w)e^{(w^{-1}\nu|\mu)T}=f_\mu(J(e^{\nu}))

特别是，鉴于第一章。 VI, §3, no. 3、公式 (3)、

f_{\rho}(J(e^\mu)) =f_\mu(J(e^{\rho})) =e^{(\mu|\rho)T}\prod_{\alpha\in R_+}(1-e^{-(\mu|\alpha)T})

因此，设定卡(R $_+$ ) $= N$ ，

$f_{\rho}(J(e^\mu))\equiv T^N\prod_{\alpha\in R}(\mu|\alpha )$ （模 $T^{N+1}\mathbf{R}[[T]]$ ）。

等式 $J(e^{\lambda+\rho}) =$ ch(E) $.J(e^{\rho})$ (Th.1) 因此意味着

$T^N\prod_{\alpha\in R_+}(\lambda +\rho |\alpha )\equiv f_{\rho}$ (ch $E$ ) $.T^N\prod_{\alpha\in R_+}(\rho |\alpha )$ (mod $T^{N+1}\mathbf{R}[[T]]$ )

所以

昏暗 $E =((\prod_{\alpha\in R_+}(\lambda +\rho |\alpha ))/((\prod_{\alpha\in R_+}(\rho |\alpha ))=\prod_{\alpha\in R_+}(1 +\frac{(\lambda|\alpha)}{(\rho|\alpha)})$ 。

现在，如果 $\alpha \in R_+,\alpha$ 可以与 $\mathfrak{h}_{\mathbf{R}}$ 与 $H_{\alpha}$ 成比例的元素识别，那么

(\lambda +\rho |\alpha )/(\rho |\alpha ) =\langle \lambda +\rho , H_{\alpha}\rangle /\langle \rho , H_{\alpha}\rangle

例 1 015Z

在no. 1的例中，我们发现

昏暗 $V(m) =(\frac{m}{2}\alpha +\frac{\alpha}{2})(H_{\alpha})/\frac{\alpha}{2}(H_{\alpha}) =m+ 1$ ，

我们在§1就知道了。

例 2 0160

取 $\mathfrak{g}$ 为型 $G_2$ 的可分割简单李代数并采用第1章的记号。 VI，板IX。给出 $\mathfrak{h}^*_{\mathbf{R}}$ W 不变正对称形式 $(\cdot | \cdot )$ ，使得 $(\alpha_1|\alpha_1) = 1$ 。然后 $\rho =\varpi_1+\varpi_2$ 和

(\varpi_1|\alpha_1) =\frac{1}{2},(\varpi_1|\alpha_2) = 0,(\varpi_1|\alpha_2+\alpha_1) =\frac{1}{2}

(\varpi_1|\alpha_2+ 2\alpha_1) = 1,(\varpi_1|\alpha_2+ 3\alpha_1) =\frac{3}{2},(\varpi_1|2\alpha_2+ 3\alpha_1) =\frac{3}{2}

(\varpi_2|\alpha_1) = 0,(\varpi_2|\alpha_2) =\frac{3}{2},(\varpi_2|\alpha_2+\alpha_1) =\frac{3}{2}

(\varpi_2|\alpha_2+ 2\alpha_1) =\frac{3}{2},(\varpi_2|\alpha_2+ 3\alpha_1) =\frac{3}{2},(\varpi_2|2\alpha_2+ 3\alpha_1) = 3

因此，如果 $n_1, n_2$ 是整数 $\geq 0$ ，则最高权 $n_1\varpi_1+n_2\varpi_2$ 的简单表示的维数是

(1 +\frac{n_1/2}{1\overline{2}})((1 +\frac{3n_2/2}{3\overline{2}})((1 +\frac{n_1/2 + 3n_2/2}{_{1\overline{2}} + \frac{3}{2}})((1 +\frac{n_1 + 3n_2/2}{1 +^{3\overline{2}}})

\times (1 +\frac{3n_1/2 + 3n_2/2}{_{3\overline{2}} + \frac{3}{2}})((1 +3n_1\frac{/_3}{2}2 + 3+ 3n_2)

= (1 +n_1)(1 +n_2)(1 +\frac{n_1 + 3n_2}{4})((1 +\frac{2n_1 + 3n_2}{5})((1 +\frac{n_1 + n_2}{2})

\times (1 +\frac{n_1 + 2n_2}{3})

(1+n_1)(1+n_2)(2+n_1+n_2)(3+n_1+2n_2)(4+n_1+3n_2)(5+2n_1+3n_2)

=。

5！

特别是，最高权 $\varpi_1$ （分别为 $\varpi_2$ ）的基数表示为维数 7（分别为14）。

3. 简单 $\mathfrak{g}$ 模块的权的多重性

命题 1 0161

让 $\omega \in P_{++}$ 。对于所有 $\lambda \in P$ ， $E(\omega )$ 中 $\lambda$ 的重数是

m_{\lambda}=\sum_{w\in W}\varepsilon (w)\mathfrak{P}(w(\omega +\rho )-(\lambda +\rho ))

引用了 2 · 被以下引用 2

引用了引理 1, 定理 1（H. Weyl 的特征标公式）

被以下引用推论, 命题 2

由 Th. 1 和引理 1，

通道 $E(\omega ) = Ke^{-\rho}d$ 通道 $E(\omega ) = Ke^{-\rho}\sum_{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\omega+\rho)}$

所以

通道 $E(\omega ) =\sum_{w\in W,\gamma\in Q_+}\varepsilon (w)\mathfrak{P}(\gamma )e^{-\rho+w(\omega+\rho)-\gamma}$

和

m_{\lambda}=\sum\varepsilon (w)\mathfrak{P}(\gamma )

w\in W,\gamma \in Q_+,\gamma =-\lambda -\rho +w(\omega +\rho )

推论 0162

如果 $\lambda$ 是 $E(\omega )$ 的权，与 $\omega$ 不同，

m_{\lambda}=-\sum_{w\in W,w\not=1}\varepsilon (w)m_{\lambda+\rho-w\rho}

引用了 2

引用了命题 1, 命题 5, VIII § 7

使用 $\omega = 0$ 应用命题 1。如果 $\mu\in P$ -- $\{0\}$ ，我们发现

0 =\sum_{w\in W}\varepsilon (w)\mathfrak{P}(w\rho +\mu-\rho )

因此

\mathfrak{P}(\mu) =-\sum_{w\in W,w\not=1}\varepsilon (w)\mathfrak{P}(\mu+w\rho -\rho ) \tag{1}

命题 1 还给出

m_{\lambda}=-\sum_{w\in W}\varepsilon (w)\sum_{w'\in W,w'\not=1}\varepsilon (w')\mathfrak{P}(w(\omega +\rho )-(\lambda +\rho ) +w'\rho -\rho )

从 $w(\omega +\rho )\not=\lambda +\rho$ 开始，对于所有 $w\in W ($ §7，提案 5 (iii)）。因此，

m_{\lambda}=-\sum_{w'\in W,w'\not=1}\varepsilon (w')\sum_{w\in W}\varepsilon (w)\mathfrak{P}(w(\omega +\rho )-(\lambda +\rho -w'\rho +\rho ))

$=-\sum_{w'\in W,w'\not=1}\varepsilon (w')m_{\lambda+\rho-w'\rho}$ （提案 $.1$ ）。

4. 分解张量积简单 $\mathfrak{g}$ 模块

命题 2 0163

让 $\lambda , \mu\in P_{++}$ 。在 $\mathscr{R}(\mathfrak{g})$ 中，我们有

[\lambda ].[\mu] =\sum_{\nu\in P_{++}}m(\lambda , \mu, \nu )[\nu ]

引用了 3 · 被以下引用 3

引用了定理 1（H. Weyl 的特征标公式）, VI § 1. 。根系, 命题 1

被以下引用命题 9, VIII § 7, 习题 14, § 9, 习题 6, § 9

和

m(\lambda , \mu, \nu ) =\sum_{w,w'\in W}\varepsilon (ww')\mathfrak{P}(w(\lambda +\rho ) +w'(\mu+\rho )-(\nu + 2\rho ))

令 $E,F$ 为最高权 $\lambda , \mu$ 的有限维简单 $\mathfrak{g}$ 模。令 $l_{\nu}$ 为最高权 $\nu$ 的 $E\otimes F$ 同型成分的长度。足以证明

l_{\nu}=\sum_{w,w'\in W}\varepsilon (ww')\mathfrak{P}(w(\lambda +\rho ) +w'(\mu+\rho )-(\nu + 2\rho )) \tag{2}

放入 $c_1=$ ch(E) $=\sum_{\sigma\in P}m_{\sigma}e^{\sigma},c_2=$ ch(F) 和 $d= J(e^{\rho})$ ，其中 J 的定义如 no. 2 中所示。我们有 $\sum_{\xi\in P_{++}}l_{\xi}$ ch[ $\xi ] =$ ch(E $\otimes F$ ) $=c_1c_2$

因而，之后乘以 $d$ 并使用 Th。 1、

\sum_{\xi\in P_{++}}l_{\xi}J(e^{\xi+\rho}) =c_1J(e^{\mu+\rho}) =(\sum_{\sigma\in P}m_{\sigma}e^{\sigma})((\sum_{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\mu+\rho)}) \tag{3}

=\sum_{\tau\in P}(\sum_{w\in W}\varepsilon (w)m_{\tau+\rho-w(\mu+\rho)})e^{\tau+\rho}

现在，如果 $\xi \in P_{++},\xi +\rho$ 属于到 B 定义的腔室（第 VI, §1, no. 10）；因而，对于所有不同于 1 的 $w\in W$ ，我们有 $w(\xi +\rho )\notin P_{++}$ 。因而， $\sum_{\xi\in P_{++}}l_{\xi}J(e^{\xi+\rho})$ 中 $e^{\nu+\rho}$ 的系数等于 $l_{\nu}$ 。鉴于(3)，我们得到

l_{\nu}=\sum_{w\in W}\varepsilon (w)m_{\nu+\rho-w(\mu+\rho)}

也就是说，根据命题 1，

l_{\nu}=\sum_{w,w'\in W}\varepsilon (w)\varepsilon (w')\mathfrak{P}(w'(\lambda +\rho )-(\nu +\rho -w(\mu+\rho ) +\rho ))

这就证明了(2)。

例 0164

我们回到no. 1的例。让 $\lambda = (n/2)\alpha , \mu= (p/2)\alpha$ 、 $\nu = (q/2)\alpha$ 与 $n\geq p$ 。我们有

m(\lambda , \mu, \nu ) =\mathfrak{P}(\frac{n}{2}\alpha +\frac{\alpha}{2}+\frac{p}{2}\alpha +\frac{\alpha}{2}-\frac{q}{2}\alpha -\alpha )

-\mathfrak{P}(\frac{n}{2}\alpha +\frac{\alpha}{2}-\frac{p}{2}\alpha -\frac{\alpha}{2}-\frac{q}{2}\alpha -\alpha )

-\mathfrak{P}(-\frac{n}{2}\alpha -\frac{\alpha}{2}+\frac{p}{2}\alpha +\frac{\alpha}{2}-\frac{q}{2}\alpha -\alpha )

+\mathfrak{P}(-\frac{n}{2}\alpha -\frac{\alpha}{2}-\frac{p}{2}\alpha -\frac{\alpha}{2}-\frac{q}{2}\alpha -\alpha )

=\mathfrak{P}(\frac{n + p-q}{2}\alpha )-\mathfrak{P}(\frac{n-p-q- 2}{2}\alpha )

如果 $n+p+q$ 不能被 2 整除，或者 $q\geq n+p$ ，则为零。如果

q=n+p-2r

对于 $r$ 整数 $\geq 0$ ，我们有

m(\lambda , \mu, \nu ) =\mathfrak{P}(r\alpha )-\mathfrak{P}((r-p-1)\alpha )

因此如果 $r\leq p$ 则为 $m(\lambda , \mu, \nu ) = 1$ ，如果 $r > p$ 则为 $m(\lambda , \mu, \nu ) = 0$ 。最后， $\mathfrak{g}$ -模块 $V(n)\otimes V(p)$ 同构于

V(n+p)\oplus V(n+p-2)\oplus V(n+p-4)\oplus \cdots \oplus V(n-p)

（克莱布什-戈登公式）。

习题

所有考虑的 $\mathfrak{g}$ 模块都被假定为有限维。

参见习题为 § 9。