习题 7, § 9

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李群与李代数, VIII, 256

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

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我们保留Th的证明的记号。 2.

a) 表明

f_{\rho}(J(e^\mu)) =\prod_{\alpha\in R_+}(e^{(\mu|\alpha)T/2}-e^{-(\mu|\alpha)T/2})

b) 将 $(\cdot | \cdot )$ 视为规范的双线性形式 $\Phi_R$ （第VI, §1, no. 12章）。表明

$^{18}$ 有关习题的更多详细信息，请参阅：H. FREUDENTHAL, Zur Berechnung der

Charaktere der halbeinfachen Lieschen Gruppen，Proc。康。阿卡德。湿的。阿姆斯特丹，卷。 LVII (1954)，第 369-376 页。

$f_{\rho}(J(e^\mu))\equiv d_\mu T^N(1 +\frac{T^2}{48}(\mu|\mu))$ （模 $.T^{N+3}\mathbf{R}[[T]]$ ），

其中 $d_\mu=\prod_{\alpha\in R_+}(\mu|\alpha )$ 。

c) 从 b) 和等式 $J(e^{\lambda+\rho}) =$ ch(E) $.J(e^{\rho})$ ，推导出公式

$\sum(\mu|\rho )^2$ 暗淡 $E^\mu=$ 暗淡 E24 $(\lambda |\lambda + 2\rho )$ 。

\mu\in P

d) 假设 $\mathfrak{g}$ 是简单的。显示 $(\rho |\rho ) =$ 暗淡 $\mathfrak{g}/24$ 。（应用 $c$ ）与R的 $\lambda$ 最高根，并使用Exerc。 §6 中的 3 个。）

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。