习题 14, § 9

a) 设$\mu, \nu \in P_{++}$且$\gamma$为$E(\mu)$的权。令$\rho_\mu$为$E(\mu)$上$\mathfrak{g}$的表示。让 $X_{\alpha}\in \mathfrak{g}^{\alpha}$ -- $\{0\}, Y_{\alpha}\in \mathfrak{g}^{-\alpha}$ -- $\{0\}$。如果$\alpha \in B$，则放入$\nu_{\alpha}=\nu (H_{\alpha})$，并且

$E^+(\mu, \gamma , \nu ) = E(\mu)^{\gamma}\cap \bigcap_{\alpha\in B}$克尔$\rho_\mu(X_{\alpha})^{\nu_{\alpha}+1}$,

$E^-(\mu, \gamma , \nu ) = E(\mu)^{\gamma}\cap \bigcap_{\alpha\in B}$克尔$\rho_\mu(Y_{\alpha})^{\nu_{\alpha}+1}$,

$d^+(\mu, \gamma , \nu ) =$ 暗淡$E^+(\mu, \gamma , \nu ),d^-(\mu, \gamma , \nu ) =$ 暗淡$E^-(\mu, \gamma , \nu )$。

对于所有$\lambda \in \mathfrak{h}^*$，放入$\lambda^*=-w_0\lambda$，其中$w_0$是W的元素，将B带到$-B$。表明

b) 令$\varphi \in V$的$\lambda_1, \lambda_2\in P_{++}, V$$\mathfrak{g}$模块Hom$_k(E(\lambda^*_1),E(\lambda_2)), U$集合，使得$Y_{\alpha}.\varphi = 0$对于所有$\alpha \in B$，并且$w$是$E(\lambda^*_1)$中的原语向量。证明 $\varphi \rightarrow \varphi (w)$ 是从 U 到 $v\in E(\lambda_2)$ 的集合的同构，使得所有 $\alpha \in B$ 都有 $Y_{\alpha}^{\lambda^*_1(H_{\alpha})+1}.v= 0$。 （用§7的练习15来证明满射性。） c) 利用命题2的记号，证明对于$\lambda_1, \lambda_2, \lambda \in P_{++}$，

（观察$m(\lambda_1, \lambda_2, \lambda )$是$\mathfrak{g}$的空间的维数-不变的元素

因此等于 $m(\lambda^*_1, \lambda , \lambda_2).)$

d) 设$\lambda_1, \lambda_2\in P_{++}$，并令$\lambda$为$P_{++}\cap W.(\lambda_1-\lambda^*_2)$的唯一元素。我们有

（使用$c$）$.)$ 推导出$E(\lambda_1)\otimes E(\lambda_2)$包含与$E(\lambda )$同构的唯一子模。

e) 我们保留 d) 的记号。显示以下条件中的等价：

（一）$\lambda =\lambda_1+\lambda_2$

（二）$\|\lambda \|=\|\lambda_1+\lambda_2\|$

(iii) $\lambda_1$ 和 $\lambda^*_2$ 正交

(iv) $\lambda_1$ 和 $\lambda^*_2$ 是不相交的（练习 13）

(v) $\lambda_1$和$\lambda_2$是不相交的。

结论 $E(\lambda_1)\otimes E(\lambda_2)$ 不是单模除非 $\lambda_1$ 且$\lambda_2$ 是不相交的（因此§7 的另一个证明 $18f$）。