代数，第 1 章I, §8, no. 2，第 2 条，$V^*$ 的 $m$ 元素中的任意乘积是形式 $x^m$ 的元素的 $k$ 线性组合，其中 $x\in \Pi$。但是$x^m=m$！ pr$_m$(exp $x$)。 Q.E.D.

截至结构迁移、V定义自同构、代数$\mathbf{S}(V)$及$\mathbf{S}(V)^*$每自同构；这给出了$\mathbf{S}(V)$和$\mathbf{S}(V)^*$上的$\mathbf{G}\mathbf{L}(V)$的线性表示。

由上可知，pr$_m(\psi (k[P]^W))\subset \mathbf{S}^m(\mathfrak{h}^*)^W$。 $\mathbf{S}^m(\mathfrak{h}^*)$ 的每个元素都是元素形式的 $k$ 线性组合

pr$_m$(exp $\lambda$)$=$(pr$_m\circ \psi$)$(e^{\lambda})$

其中 $\lambda \in P$ (引理 1)。因而$\mathbf{S}^m(\mathfrak{h}^*)^W$的每个元素都是形式的元素的线性组合

$\sum_{w\in W}w$((pr$_m\circ \psi$)$(e^{\lambda})$)$=$(pr$_m\circ \psi$)$(\sum_{w\in W}w(e^{\lambda}))$,

其中每个属于到pr$_m(\psi (k[P]^W))$。

Tr($u_E$)$=\langle \psi$(ch $E$)$, u\rangle$。

将$u=h_1. . . h_m$与$h_1, . . . , h_m\in \mathfrak{h}$处理即可。对于所有$\lambda \in P$，让$d_{\lambda}=$变暗$E^{\lambda}$。然后 ch $E =\sum_{\lambda}d_{\lambda}e^{\lambda}$，所以 $\psi$(ch $E$) $=\sum_{\lambda}d_{\lambda}$ exp($\lambda$ ) 因而

这只是提案 2 的重新表述。

根据第 1 号提案，$\mathrm{S}^m(\mathfrak h^*)^W=(\mathrm{pr}_m\circ\psi)(k[P]^W)$。现在$\mathbf{Z}[P]^W=\mathrm{ch}\,\mathscr{R}(\mathfrak g)$（§7, no. 7，Th.2（ii））。因而，由章。 VI, §3, no. 4、引理 3、$\psi(k[P]^W)$ 是$\psi(\mathrm{ch}\,\mathscr{R}(\mathfrak g))=\zeta(\mathrm{Tr}\,\mathscr{R}(\mathfrak g))$ 生成的$\mathrm{S}(\mathfrak h)^*$ 的$k$-向量子空间。因而，$\mathrm{S}^m(\mathfrak h^*)^W$是由$(\mathrm{pr}_m\circ\zeta\circ\mathrm{Tr})(\mathscr{R}(\mathfrak g))$生成的$\mathrm{S}^m(\mathfrak h^*)$的向量子空间。但是，如果 $\rho$ 是 $\mathfrak g$ 的有限维线性表示，

对于所有$x\in\mathfrak h$。

将 $g(x_1, . . . , x_m) =$ Tr($\rho (x_1). . . \rho (x_m)$) 替换为 $x_1, . . . , x_m\in \mathfrak{a}$。如果$x\in \mathfrak{a}$，我们有

$=\sum_{1\leq i\leq m}$Tr($\rho (x_1). . . \rho (x_{i-1})[\rho (x), \rho (x_i)]\rho (x_{i+1}). . . \rho (x_m)$)

= Tr($\rho (x)\rho (x_1). . . \rho (x_m)$)$-$ Tr($\rho (x_1). . . \rho (x_m)\rho (x)$)$= 0$,

所以$\theta^*(x)g= 0$。令 $h$ 为由下式定义的对称多重线性形式

$h(x_1, . . . , x_m) =m1$！ $\sum g(x_{\sigma(1)}, . . . , x_{\sigma(m)})$。

$\sigma \in \mathfrak{S}_m$

对于所有$x\in \mathfrak{a}$，我们有$\theta^*(x)h= 0$和Tr($\rho (x)^m$)$=h(x, . . . , x)$，因此有引理。

条件显然是必要的。假设现在已经满足了。设$a$为$\mathfrak{g}$的幂零元。存在整数$n$使得$a^n_E= 0$。对于所有$t\in k$，我们有

0 = exp($ta_E$)$.x-x=ta_Ex+$ 2!$1t^2a^2_Ex+\cdots +(n-1$ 1)! $t^{n-1}a^{n-1}_Ex$,

所以$a_Ex= 0$。但李代数$\mathfrak{g}$是由它的幂零元生成的（§4, no. 1，命题1）。因此 $x$ 是 $\mathfrak{g}$ 模 E 的不变量元素。

对于任何$\xi \in \mathbf{G}\mathbf{L}(\mathfrak{g})$，令$\mathbf{S}(\xi )$为$\mathbf{S}(\mathfrak{g})$的自同构，扩展$\xi$，以及$\mathbf{S}^*(\xi )$限制到$\mathbf{S}(\xi )$的同余自同构的$\mathbf{S}(\mathfrak{g}^*)$。那么$\mathbf{S}$和$\mathbf{S}^*$就是$\mathbf{G}\mathbf{L}(\mathfrak{g})$的表示。如果$a$是$\mathfrak{g},\theta (a)$的幂零元在$\mathbf{S}(\mathfrak{g})$和$\mathbf{S}$(exp ad$a$)$=$exp$\theta (a)$上局部幂幂，所以

$\mathbf{S}^*$（exp广告$a$）$=$exp$\theta^*(a)$。 (2)

(i) $f\circ s=f$ 对于所有 $s\in$ Aut$_e(\mathfrak{g})$；

(ii) $f\circ s=f$ 对于所有 $s\in$ Aut$_0(\mathfrak{g})$；

(iii) $f$ 是不变的。

(i) 和 (iii) 的等价由公式 (2) 和引理 3 得出。由此得出，(iii) 通过基域的扩张蕴含 (ii)。 (ii) $=\Rightarrow$ (i) 的含义是明确的。

注仔细观察，如果$f$ 满足$3,f$ 的条件，则在 Aut($\mathfrak{g}$) 下一般不不变（练习 1 和 2）。

(i) 映射$i|I(\mathfrak{g}^*)$是从代数$I(\mathfrak{g}^*)$到代数$\mathbf{S}(\mathfrak{h}^*)^W$的同构。

(ii) 对于任何整数$n\geq 0$，令$I^n(\mathfrak{g}^*)$为次数$n$的$I(\mathfrak{g}^*)$的齐次元素的集合。那么$I^n(\mathfrak{g}^*)$是形式$x \rightarrow$Tr($\rho (x)^n$)的$\mathfrak{g}$上函数的线性组合集合，其中$\rho$是$\mathfrak{g}$的有限维线性表示。

(iii) 设 $l=$ rk($\mathfrak{g}$)。 $I(\mathfrak{g}^*)$存在$l$代数独立齐次元素即生成代数$I(\mathfrak{g}^*)$。

a) 设$f\in I(\mathfrak{g}^*)$和$w\in W$。存在 $s\in$ Aut$_e(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ 使得$s|\mathfrak{h}=w($§2, no. 2，Cor。的 Th。 2）。由于$f$在$s$下是不变的（命题$3$）$,i(f)$在$w$下是不变的。因此$i(I(\mathfrak{g}^*))\subset \mathbf{S}(\mathfrak{h}^*)^W$。

b) 我们证明，如果$f\in I(\mathfrak{g}^*)$ 满足$i(f) = 0$，则$f= 0$。如有必要，扩展基域，我们可以假设$k$是代数封闭的。根据提案，对于所有 $s\in$ Aut$_e(\mathfrak{g})$，$3,f$ 在 $s(\mathfrak{h})$ 上消失。因此，$f$在$\mathfrak{g}$的每个嘉当子代数（第VII, §3, no. 2，第1章）消失，特别是在$\mathfrak{g}$的正则元素的集合。但是对于 Zariski 拓扑（第 VII, §2, no. 2 章）来说，这个集合密集于 $\mathfrak{g}$。

c) 设$n$为整数$\geq 0$。令$L^n$为$\mathfrak{g}$上形式$x \rightarrow$函数线性组合集合Tr($\rho (x)^n$)，其中$\rho$是$\mathfrak{g}$的有限维线性表示。 引理$2, L^n\subset I^n(\mathfrak{g}^*)$。因此

由科. $2,\mathbf{S}^n(\mathfrak{h}^*)^W\subset i(L^n)$ 提案第 2 条。因此 $i(I^n(\mathfrak{g}^*)) =\mathbf{S}^n(\mathfrak{h}^*)^W$ 证明了 (i)，$i(L^n) =i(I^n(\mathfrak{g}^*))$ 证明了 b) $L^n= I^n(\mathfrak{g}^*)$。从而证明(ii)。

d) 断言 (iii) 由 (i) 和第 1 章得出。 V, §5, no. 3，周四。 3.

它们在代数上是独立的且生成代数 $I(\mathfrak{g}^*)$。

这是从 Th 得出的。 2(i)和章。 V, §6, no. 2，提案 3。

（一）$\mathbf{S}(\mathfrak{g}) =\mathbf{S}(\mathfrak{h})\oplus J$。

(ii) 设$j$为同态，从代数$\mathbf{S}(\mathfrak{g})$到代数$\mathbf{S}(\mathfrak{h})$，由$\mathbf{S}(\mathfrak{g})$的前一个分解定义。令$I(\mathfrak{g})$为$\mathbf{S}(\mathfrak{g})$的不变式元素的集合。设$\mathbf{S}(\mathfrak{h})^W$为W的运算下不变的$\mathbf{S}(\mathfrak{h})$元素集合。则$j|I(\mathfrak{g})$从$I(\mathfrak{g})$到$\mathbf{S}(\mathfrak{h})^W$为同构。

断言 (i) 很清楚。杀戮形式定义同构从向量空间$\mathfrak{g}^*$到向量空间$\mathfrak{g}$，其中扩展到同构$\xi$来自$\mathfrak{g}$模块$\mathbf{S}(\mathfrak{g}^*)$ 到$\mathfrak{g}$-模块$\mathbf{S}(\mathfrak{g})$。我们有$\xi (I(\mathfrak{g}^*)) = I(\mathfrak{g})$。 $\mathfrak{h}$相对于杀戮形式的正交补集是$\mathfrak{n}_++\mathfrak{n}_-($§2, no. 2，命题1)。如果我们将认同$\mathfrak{h}^*$与$\mathfrak{n}_++\mathfrak{n}_-$在$\mathfrak{g}^*$中的正交补集，则$\xi (\mathfrak{h}^*) =\mathfrak{h}$，所以$\xi (\mathbf{S}(\mathfrak{h}^*)) =\mathbf{S}(\mathfrak{h})$和$\xi (\mathbf{S}(\mathfrak{h}^*)^W) =\mathbf{S}(\mathfrak{h})^W$。最后，$\xi^{-1}(J)$是$\mathfrak{g}$上的多项式函数的集合，在$\mathfrak{h}$上消失。这就证明了Th的$\xi$变换同态$i$。 1 入 Cor 的同态 $j$。 2. 因此断言 (ii) 由 Th 推出。 1（一）。

(i) I和$I'$是超越次数$l$的分级多项式代数（第V, §5, no. 1章）。

(ii) Z 同构于 $k$ 上$l$ 不定式多项式的代数。

$\mathfrak{a}$ 诱导的包络代数的规范过滤是 Z 的过滤。 I, §2, no. 7，周四。 1 和 p. 25，gr Z 与 $I'$ 同构的。鉴于交换代数，第 1 章。 III, §2, no. 9，第 10 条命题，因此 (i) $=\Rightarrow$ (ii)。

另一方面，Th. 1 及其 Cor。 2 证明只要 $\mathfrak{a}$ 是分裂的，(i) 就为真。一般情况约化鉴于以下引理：

我们有${A'}^0=k'$，所以$A^0=k$。输入$A_+=\bigoplus_{n\geq 1}A^n$和$P = A_+/A^2_+$。那么P是一个分级的向量空间，并且有一个分级的线性映射$f: P\rightarrow A_+$

$^2$ 在引理 4、5 和 $6,k$ 中可以是任何（可交换的）域。 次数零，使得与规范投影$A_+\rightarrow P$的复合体是P上的恒等式。给出$\mathbf{S}(P)$由P的恒等式引起的分级结构（代数，第III，p. 506）。 $k$-代数$g:\mathbf{S}(P)\rightarrow A$的同态，扩展$f$（代数，第III，p. 497）是次数0的分级同态； 直接的归纳在次数上表明 $g$ 是满射。

如果 P 是有限维的，则 $\mathbf{S}(P)$ 显然是分级多项式代数，如果 $g$ 是双射的话，A 也是有限维的。相反，假设 A 由次数 $d_1, . . . , d_m$ 的代数独立齐次元素 $x_1, . . . , x_m$ 生成。设P中$\overline{x}_i$为$x_i$像。P的$\overline{x}_i$形式基为直接的；由于$\overline{x}_i$是次数$d_i$，所以$\mathbf{S}(P)$和A同构；特别是，对所有 $n$ 都调暗 $\mathbf{S}(P)^n=$ 调暗 $A^n$。由于 $g$ 是满射，因此它必然是双射。

引理 4 现在是直接的。事实上，引理 5，应用于$k'$代数$A'$，表明$g\otimes 1 :\mathbf{S}(P)\otimes k'\rightarrow A\otimes k'$是双射的，因此$g$也是双射的。

如有必要，扩展基域，我们可以假设$\mathfrak{a}=\mathfrak{g}$是可拆分的。假设$x$幂零。对于 $\mathfrak{g}$ 的任何有限维线性表示 $\rho$ 和任何整数 $n\geq 1$，我们有 Tr($\rho (x)^n$) $= 0$，因此 $f(x) = 0$ 对于次数 $\geq 1$ 的所有齐次 $f\in I(\mathfrak{g}^*)$ (Th. 1 (ii))，因此对于所有 $f\in \mathfrak{p}$ 都是 $f(x) = 0$。相反，如果 $f(x) = 0$ 对于所有 $f\in \mathfrak{p}$，则 Tr((ad $x$)$^n$) $= 0$ 对于所有 $n\geq 1$ (Th. 1 (ii))，因此 $x$ 是幂零的。

事实上，对于每个$s\in G$，V上都存在多项式函数$g_s$，在$v$处等于1，在$sv'$处等于0。那么函数 $g= 1-\prod_{s\in G}g_s$ 等于 0

$v$ 和 $Gv'$ 上的 1。 多项式函数 $f=\prod_{t\in g}t.g$ 是 G 不变量，在 $v$ 等于 0，在 $v'$ 等于 1。

(i)$s\in$自动$_0(\mathfrak{a})$；

(ii) 对于 $\mathfrak{a}$ 上的任何不变量多项式函数 $f$，我们有 $f\circ s=f$。

通过在必要时扩展标量，我们可以假设 $k$ 是代数封闭的。蕴涵 (i) $=\Rightarrow$ (ii) 由命题 3 得出。我们假设条件 (ii) 满足并证明 (i)。鉴于第 3 号提案和 §5, no. 3，Cor.根据命题 5 的 1，我们可以假设 $s\in$ Aut($\mathfrak{g},\mathfrak{h}$) 和 $s$ 使 Weyl 室 C 保持稳定。让$x\in C\cap \mathfrak{h}_{\mathbf{Q}}$。我们有$sx\in C$。如果$g$是$\mathfrak{h}$上的W不变量多项式函数，我们有$g(x) =g(sx)$（Th.1（i））。到引理 6，得出$sx\in Wx$。从$sx\in C$开始，我们有$x=sx$（第V, §3, no. 3章，第2章）。然后是$s|\mathfrak{h}=$ Id$_{\mathfrak{h}}$，以及$s\in$ Aut$_0(\mathfrak{g},\mathfrak{h}) ($§5, no. 2，提案 4）。

命题 6 表明 Aut$_0(\mathfrak{a})$ 是封闭的。令 $\overline{k}$ 为 $k$ 的代数闭包。 群 Aut($\mathfrak{a}\otimes \overline{k}$)$/$Aut$_0(\mathfrak{a}\otimes \overline{k})$ 是有限的（§5, no. 3，第 5 条命题第 1 条）； 更不必说, 群 Aut($\mathfrak{a}$)$/$Aut$_0(\mathfrak{a})$ 是有限的。由于 Aut($\mathfrak{a}$) 中 Aut($\mathfrak{a}$) 的陪集是闭集，因此 Aut$_0(\mathfrak{a})$ 在 Aut($\mathfrak{a}$) 中是开集。

设$S(\mathfrak h)^W$为$S(\mathfrak h)$元素集合在$W$作用下不变。那么$(\delta\circ\varphi)|_Z$是从$Z$到$S(\mathfrak h)^W$的同构，独立于$B$的选择。

a) 令$P_{++}$为$R$、$w\in W$、$\lambda\in P_{++}$、$\mu=w\lambda$的主导权的集合。那么 $Z(\mu-\rho)$ 同构于 $Z(\lambda-\rho)$ 的子模（§6, no. 3，第 6 条命题的 Cor.2），并且 $\varphi(u)(\lambda-\rho)=\varphi(u)(\mu-\rho)$ 同构于所有 $u\in Z$（§6, no. 4，第 7 条命题）。因而，多项式函数$(\delta\circ\varphi)(u)$和$(\delta\circ\varphi)(u)\circ w$在$\mathfrak h^*$重合在$P_{++}$。但是，在 Zariski 拓扑中，$P_{++}$ 在 $\mathfrak h^*$ 中是“密集”的：这可以通过基本权 $\varpi_\alpha$ 的基由……组成识别 $\mathfrak h^*$ 与 $k^B$ 来看出，并通过*代数* 第 9 章应用提案 9 IV, §2, no. 3。因而

这就证明了$(\delta\circ\varphi)(Z)\subset S(\mathfrak h)^W$。

b) 令$\eta$为同构，从$I(\mathfrak g)$到$S(\mathfrak h)^W$，在no. 3中定义。 2 Th。 1. 考虑从$\mathfrak g$-模块$U$到$\mathfrak g$-模块$S(\mathfrak g)$（第I, §2, no. 8章）的典范同构，并令$\theta$为其限制到$Z$。然后$\theta(Z)=I(\mathfrak g)$。令$z$为$Z$的元素，并在$U$中过滤$\leqslant f$。

引入§6, no. 4中的记号，并把

设 $v((q_i),(m_i),(p_i))$ 为单项式 $X_{\alpha_1}^{q_1}\cdots X_{\alpha_n}^{q_n}H_1^{m_1}\cdots H_l^{m_l}X_{\alpha_1}^{p_1}\cdots X_{\alpha_n}^{p_n}$ 按$S(\mathfrak g)$计算。用次数 $0,1,\ldots,d$ 的 $S(\mathfrak g)$ 的齐次分量 $S_d(\mathfrak g)$ 和表示，我们有

所以

因而

c) 我们证明$\delta\circ\varphi:Z\longrightarrow S(\mathfrak h)^W$是双射的。 $U$ 和 $S(\mathfrak g)$ 诱导 $Z$、$I(\mathfrak g)$ 和 $S(\mathfrak h)^W$ 的规范过滤以及 $\theta$、$\eta$ 与这些过滤兼容，因此 gr($\eta \circ \theta$ ) 为同构向量空间 gr(Z) 至向量空间 gr($\mathbf{S}(\mathfrak{h})^W$)。由(3)可知gr($\varphi$)$=$gr($\eta \circ \theta$)，显然gr($\delta$)是恒等式。因此 gr($\delta \circ \varphi$ ) 是双射的，所以

是双射的（交换代数，第 III, §2, no. 8 章，第 1 章的 Cor. 1 和 2）。

d) 回忆一下 a) 中的记号。令 E 为最高权 $\lambda$ 的简单$\mathfrak{g}$模，$\chi$其中心特征标（§6, no. 1，定义 2）。令$\varphi '$和$\delta '$是同态，类似于相对于基$w(B)$的$\varphi$和$\delta$。 E相对于$w(B)$的最高权是$w(\lambda )$。根据第 7 号提案，§6, no. 4，

对于所有 $u\in Z$，因此，通过 a)，

因此，多项式函数$(\delta \circ \varphi )(u)$和$(\delta '\circ \varphi ')(u)$重合在$w(P_{++}) +w\rho$上，因此是相等的。