习题 7, § 10

a) 证明$k$的以下性质是等价的：

(i) 每个各向异性半单 $k$-李代数约化到 0。

(ii) 每个半单$k$-李代数都有博雷尔子代数。

（使用练习 6 证明 (i) $=\Rightarrow$ (ii)。）

b) 表明 (i) 和 (ii) 意味着$^{19}:$

(iii) 每个有限维 $k$-代数域都是可交换的。 （或者再次：$k$约化的每个代数扩张到0的布劳尔群。）

（在这样的代数中使用迹线零的元素李代数。）

c) 证明 (i) 和 (ii) 隐含于：

(iv) 对于次数 $\geq 1$ 的任何有限族齐次多项式 $f_{\alpha}\in k[(X_i)_{i\in I}]$，使得 $\sum_{\alpha}$ deg $f_{\alpha}<$ Card(I)，存在元素 $x_i\in k$，不存在

所有零，这样所有$\alpha$就有$f_{\alpha}((x_i)_{i\in I}) = 0$。

（使用§8的第5条建议。）