习题 15, § 8

令$x$为$\mathfrak{g}($§3的对角化元素，Exerc。 10)，以及$\mathfrak{g}$的$y$半单元素，使得$f(x) =f(y)$对于$\mathfrak{g}$上的每个不变量多项式函数$f$。证明存在 $s\in$ Aut$_e(\mathfrak{g})$ 使得$sy=x$。 （注 ad $x$ 和 ad $y$ 具有相同的特征多项式，cf. Exerc. 8，因此

$^{17}$有关习题 10 至 13 的更多详细信息，请参阅：I。 N.伯恩斯坦，I。 M·格尔芬德

和 S.I。 GELFAND，由最高权生成的表示中的结构

向量 [俄语]，功能。肛门。我进化了 prilojenie，卷。 V (1971)，第 1-9 页。

在这个回忆录中，进一步证明，如果$\lambda , \lambda '\in \mathfrak{h}^*$使得$Z(\lambda -\rho )\subset$

$Z(\lambda '-\rho )$，存在 $\gamma_1, . . . , \gamma_n\in R_+$ 使得 $\lambda$ = $s_{\gamma_n}. . . s_{\gamma_2}s_{\gamma_1}\lambda '$ 并且

$(s_{\gamma_i}. . . s_{\gamma_1}\lambda ')(H_{\gamma_{i+1}})\in \mathbf{N}$ 换$0\leq i\leq n$。由此可见 $Z(\lambda -\rho )$ 是简单的，如果

并且仅当 $\lambda (H_{\alpha})\in \mathbf{N}^*$ 对于所有 $\alpha \in R_+$ 时。 $y$ 是可对角化的。接下来，使用Exerc将约化转换为$x$和$y$包含在$\mathfrak{h}$中的情况。 §3 的 10，并使用 Th。 1 (i) 和引理 6 证明 $x$ 和 $y$ 在 W 下是共轭。）