Bài tập 15, § 8

Cho $x$ là một phần tử chéo hóa được của $\mathfrak{g}($§3, Bài tập 10), và $y$ là một phần tử nửa đơn của $\mathfrak{g}$ sao cho $f(x) =f(y)$ đối với mọi hàm đa thức bất biến $f$ trên $\mathfrak{g}$. Hãy chỉ ra rằng tồn tại $s\in$ Aut$_e(\mathfrak{g})$ sao cho $sy=x$. (Nhận xét rằng ad $x$ và ad $y$ có cùng đa thức đặc trưng, xem Bài tập 8, do đó

$^{17}$Để biết thêm chi tiết về các Bài tập 10 đến 13, xem: I. N. BERNSTEIN, I. M. GELFAND

và S. I. GELFAND, Structure of representations generated by highest weight

vectors [bằng tiếng Nga], Funct. Anal. i evo prilojenie, Vol. V (1971), tr. 1-9.

Trong hồi ký này, còn chứng minh thêm rằng, nếu $\lambda , \lambda '\in \mathfrak{h}^*$ sao cho $Z(\lambda -\rho )\subset$

$Z(\lambda '-\rho )$, thì tồn tại $\gamma_1, . . . , \gamma_n\in R_+$ sao cho $\lambda$ = $s_{\gamma_n}. . . s_{\gamma_2}s_{\gamma_1}\lambda '$ và

$(s_{\gamma_i}. . . s_{\gamma_1}\lambda ')(H_{\gamma_{i+1}})\in \mathbf{N}$ với $0\leq i\leq n$. Suy ra $Z(\lambda -\rho )$ là đơn nếu

và chỉ nếu $\lambda (H_{\alpha})\in \mathbf{N}^*$ với mọi $\alpha \in R_+$. sự kiện rằng $y$ là chéo hóa được. Tiếp theo, rút gọn về trường hợp trong đó $x$ và $y$ được chứa trong $\mathfrak{h}$ bằng cách dùng Bài tập 10 của §3, và dùng Định lý 1 (i) và Bổ đề 6 để chứng minh rằng $x$ và $y$ liên hợp dưới W.)