习题 11, § 11

设$(x, h, y)$为半单李代数$\mathfrak{g}$中的主要$\mathfrak{s}\mathfrak{l}_2$三元组。给出由该三元组定义的 $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k$) 模块结构。表明

由此定义的模与$\bigoplus_{i=1}^lV(2k_i-2)$同构的，其中$k_i$是

$\mathfrak{g}$ 上不变量多项式函数的代数的特征次数。 （约化对于$\mathfrak{g}$是可分割简单的情况。使用§8, no. 3第1节的Cor.1，以及第VI, §4章，练习$6c$）$.)^{20}$