如果$s\in G$，显然$\varepsilon (s)\in$Aut(R$,B$)。另一方面，映射

$\varepsilon |G : G\rightarrow$ 自动(R$,B$)

是 Th 双射的。 2 个§4, no. 4。

1 $\longrightarrow T_Q\longrightarrow^f$ 自动($\mathfrak{g},\mathfrak{h}$)$\longrightarrow^{\varepsilon}$ A(R) $\longrightarrow$ 1

是准确的。

a) 让 $\varphi \in$ Ker $f$。然后 $\varphi (\alpha ) = 1$ 代表所有 $\alpha \in R$。因为 R 生成群 $Q(R),\varphi$ 是 $T_Q$ 的单位元素。

b) 设 $\varphi \in T_Q$。 $f(\varphi )$到$\mathfrak{h}=\mathfrak{g}^0$的限制是恒等式，所以

我$f\subset$ Ker$\varepsilon$。

c) 设 $s\in$ Ker$\varepsilon$。然后$s|\mathfrak{h}=$Id$_{\mathfrak{h}}$。对于所有$\alpha \in R$，我们有$s(\mathfrak{g}^{\alpha}) =\mathfrak{g}^{\alpha}$，并且存在一个$t_{\alpha}\in k^*$，使得对于所有$x\in \mathfrak{g}^{\alpha}$有$sx=t_{\alpha}x$。记下条件即$s\in$Aut($\mathfrak{g}$)，我们得到关系

$t_{\alpha}t_{-\alpha}= 1$ 所有人 $\alpha \in R$

$t_{\alpha}t_{\beta}=t_{\alpha+\beta}$当$\alpha , \beta , \alpha +\beta \in R$。

在这些条件下，存在$\varphi \in T_Q$，使得$\varphi (\alpha ) =t_{\alpha}$适用于所有$\alpha \in R$（第VI, §1, no. 6章，第19号提案的Cor.2）。然后$s=f(\varphi )$。因此，Ker $\varepsilon \subset$ Im $f$。

d) §2, no. 2，Cor，在 $\varepsilon$ 包含 W(R) 下的 Aut($\mathfrak{g},\mathfrak{h}$) 像。的 Th。 2，以及命题 1 的包含 Aut(R$,B$)。因此，像等于 A(R)。

事实上，根据第 1 条命题，$G\cap \varepsilon^{-1}(W(R)) =\{1\}$，并且

自动($\mathfrak{g},\mathfrak{h}$) $= G.\varepsilon^{-1}(W(R))$

因为 $\varepsilon$ 是满射的（命题 2）。

事实上，Aut($\mathfrak{g},\mathfrak{h}$) 在 $(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ 到 §4, no. 4 的框架集合上进行传递操作，Th。 2.Cor。 2 现在来自 Cor. 1.

这直接来自于提案 2。

设$\alpha \in R,X_{\alpha}\in \mathfrak{g}^{\alpha},X_{-\alpha}\in \mathfrak{g}^{-\alpha}$使得$[X_{\alpha}, X_{-\alpha}] =-H_{\alpha}$。我们已经看到（§2, no. 2，Th.2），对于初等自同构的所有$t\in k^*$，限制

到$\mathfrak{h}$是$s_{\alpha}$中的转置；所以$\varepsilon (\theta_{\alpha}(t)) =s_{\alpha}$，因而$\theta_{\alpha}(t)\theta_{\alpha}(-1)\in$ Ker $\varepsilon$。

令 $\rho$ 为与 $X_{\alpha}$ 伴随的 $\mathfrak{g}$ 上的 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$ 的表示。令$\pi$为$\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k)$中与$\rho$兼容的表示。介绍§1, no. 5中的记号$\theta (t), h(t)$。由于$\rho (H) =$和$H_{\alpha}$，$\mathfrak{g}^{\lambda}$的元素对于$\rho$来说是权$\lambda (H_{\alpha})$。到§2，没有。 $2,\theta_{\alpha}(t)\theta_{\alpha}(-1) =\pi (\theta (t)\theta (-1)) =\pi (h(t))$。因而，$\theta_{\alpha}(t)\theta_{\alpha}(-1)$与$\mathfrak{g}^{\lambda}$的限制是位似与$t^{\lambda(H_{\alpha})}($§1, no. 5之比，命题6），因此引理。

$T_P\longrightarrow^qT_Q\longrightarrow^f$自动($\mathfrak{g},\mathfrak{h}$)

包含在 Aut$_e(\mathfrak{g})$ 中。

设B为R的基，则$(H_{\alpha})_{\alpha\in B}$为$R^{\vee}$的基，$\mathfrak{h}^*$中$(H_{\alpha})_{\alpha\in B}$的对偶基为群P(R)的基。因此群$T_P$是由同态$\lambda \rightarrow t^{\lambda(H_{\alpha})}(t\in k^*, \alpha \in B)$生成的。如果$\varphi$是这样的同态到Q(R)的限制，引理1证明$f(\varphi )\in$Aut$_e(\mathfrak{g})$，因此命题。

设$\overline{k}$为$k$的代数闭包。与$\mathfrak{g}$自同构$s\otimes 1$或$\mathfrak{g}\otimes_k\overline{k}$中的任意自同构$s$相关联的映射是从Aut($\mathfrak{g}$)到Aut($\mathfrak{g}\otimes_k\overline{k}$)的单同态。我们用Aut$_0(\mathfrak{g})$表示Aut($\mathfrak{g}$)的正常子群，即在此同态下的Aut$_e(\mathfrak{g}\otimes_k\overline{k})$的逆像；这是$\mathfrak{g}$自同构集合，将基域从$k$延伸到$\overline{k}$就成为基本的。很明显，Aut$_e(\mathfrak{g})$ 独立于选择或 $\overline{k}$，并且 Aut$_e(\mathfrak{g})\subset$ Aut$_0(\mathfrak{g})$。 群 Aut$_0(\mathfrak{g})$ 和 Aut$_e(\mathfrak{g})$ 可以不同（第 VII, §13, no. 1 章）。如果$\mathfrak{h}$是$\mathfrak{g}$中的嘉当子代数，则将

自动$_e(\mathfrak{g},\mathfrak{h}) =$自动$_e(\mathfrak{g})\cap$自动($\mathfrak{g},\mathfrak{h}$)、自动$_0(\mathfrak{g},\mathfrak{h}) =$自动$_0(\mathfrak{g})\cap$自动($\mathfrak{g},\mathfrak{h}$)。

然后$\varepsilon (s) = 1$。

到$k$的扩张，我们就减少到$s\in$Aut$_e(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$的情况。 $s-1$ 的零空间的维数至少是昏暗的 $\mathfrak{h}$（第 VII, §4, no. 4 章，第 9 条命题）。因而 $(s-1)|\mathfrak{h}$ 是幂零的。由于$s|\mathfrak{h}\in A(R^{\vee}),s|\mathfrak{h}$是有限的阶，因此半单（第V，附录，命题2）。因而，$(s-1)|\mathfrak{h}= 0$，证明了$\varepsilon (s) = 1$。

(ii) 如果 $k$ 是代数闭的，则 $q(T_P) = T_Q$。

存在 P(R) 的基 $(\lambda_1, . . . , \lambda_l)$ 和整数 $n_1\geq 1, . . . , n_l\geq 1$，使得 $(n_1\lambda_1, . . . , n_l\lambda_l)$ 是 Q(R) 的基。我们有$m=n_1. . . n_l$。设$\psi \in T_Q$并放入$\psi (n_1\lambda_1) =t_1, . . . , \psi (n_l\lambda_l) =t_l$。对于 $i= 1, . . . , l$，输入 $m_i=$ $\prod_{j\not=i}n_j$。令$\chi$为$T_P$的元素，使得$\chi (\lambda_1) =t^{m_1}_1, . . . , \chi (\lambda_l) =t^{m_l}_l$。然后

所以$\chi |Q(R) =\psi^m$。这就证明了(i)。如果$k$是代数闭的，$k^*$的每个元素都是$k^*$的元素的第$m$第幂，所以$T_Q$的每个元素都是第$m$ $T_Q$元素幂；因此，(ii) 由(i) 得出。

a) 令 $\varphi \in T_Q$ 且令 $\overline{k}$ 为代数闭包 / $k$。由引理 $3,\varphi$ 扩展至元素前往 Hom(P(R)$, k^*$)。根据第 3 条命题，

$f(\varphi )\otimes 1\in$自动$_e(\mathfrak{g}\otimes_k\overline{k},\mathfrak{h}\otimes_k\overline{k})$。

因此，$f(\varphi )\in$ Aut$_0(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$，以及 Ker $\varepsilon \subset$ Aut$_0(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$。

b) Aut$_e(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ 的像在 $\varepsilon$ 包含 W(R) 下（§2, no. 2，Th. 2 的 Cor.）。鉴于a)，我们看到$\varepsilon^{-1}(W(R))\subset$Aut$_0(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$。

c) 仍有待证明Aut$_0(\mathfrak{g},\mathfrak{h})\subset \varepsilon^{-1}(W(R))$。鉴于b)，只需证明$\varepsilon$(Aut$_0(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$)$\cap$Aut(R$,B$)，其中B表示R的基，约化至$\{1\}$。

令 $s\in$ Aut$_0(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ 使得 $\varepsilon (s)\in$ Aut(R$,B$)。由 $\varepsilon (s)$ 生成的 A(R) 的子群在 R 上具有轨道的有限数。令 U 为基数 $r$ 和 $\mathfrak{g}^U=\sum_{\beta\in U}\mathfrak{g}^{\beta}$ 的轨道。设 $\beta_1\in U$，并代入$\beta_i=\varepsilon (s)^{i-1}\beta_1$

$1\leq i\leq r$，所以$U =\{\beta_1, . . . , \beta_r\}$。令$X_{\beta_1}$为$\mathfrak{g}^{\beta_1}$的非零元素，并将$X_{\beta_i}=s^{i-1}X_{\beta_1}$作为$1\leq i\leq r$。存在$c_U\in k^*$使得$s^rX_{\beta_1}=$$c_UX_{\beta_1}$，因此对于所有$i$来说$s^rX_{\beta_i}=c_UX_{\beta_i}$，因而$s^r|\mathfrak{g}^U=c_U.1$。设 $\varphi \in T_Q$ 和 $s'=s\circ f(\varphi )$，通过 a) 是 Aut$_0(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ 的元素。我们有 ${s'}^r|\mathfrak{g}^U=c'_U.1$，其中

输入$B =\{\alpha_1, . . . , \alpha_l\}$和$\sum_{i=1}^r\beta_i=\sum_{j=1}^lm^U_j\alpha_j$。自 $\varepsilon (s)\in$ Aut(R$,B$) 起，

$m^U_j$ 与整数具有相同的符号，但并非所有零。我们有

现在可以选择$\varphi$，这样每个轨道U就有$c'_U\not= 1$；事实上，这个约化选择$k^*$的元素$\varphi (\alpha_1) =t_1, . . . , \varphi (\alpha_l) =t_l$，它们不会被$t_1, . . . , t_l$中的有限多项式数湮灭，不完全相同零。对于这样的选择除$\varphi ,\varepsilon (s') = 1$乘以引理2，所以

这是根据 Cor. 1 提案得出的。提案 2 中的第 1 条和提案 4。

令$e_1=(\mathfrak g,\mathfrak h_1,B_1,(X^1_\alpha)_{\alpha\in B_1})$、$e_2=(\mathfrak g,\mathfrak h_2,B_2,(X^2_\alpha)_{\alpha\in B_2})$为$\mathfrak g$的两个框架。 $\operatorname{Aut}_0(\mathfrak g)$中至少存在一个元素将变换$e_1$转化为$e_2$（命题1和命题4）。设$\overline{k}$为$k$的代数闭包。 $\operatorname{Aut}_e(\mathfrak g\otimes_k\overline{k})$存在元素，变换$\mathfrak h_1\otimes_k\overline{k}$进入$\mathfrak h_2\otimes_k\overline{k}$（第VII, §3, no. 2，第1章）。因此，根据 Prop. 4 和 Cor.根据命题2的2，存在$\operatorname{Aut}_e(\mathfrak g\otimes_k\overline{k})$的元素$\varphi$，即变换将$\mathfrak g\otimes_k\overline{k}$的框架$(\mathfrak g\otimes_k\overline{k},\mathfrak h_1\otimes_k\overline{k},B_1,(X^1_\alpha)_{\alpha\in B_1})$纳入框架$(\mathfrak g\otimes_k\overline{k},\mathfrak h_2\otimes_k\overline{k},B_2,(X^2_\alpha)_{\alpha\in B_2})$。由于$\mathfrak h_1$和$X^1_\alpha$（分别是$\mathfrak h_2$和$X^2_\alpha$）生成$\mathfrak g_1$（分别是$\mathfrak g_2$），我们有$\varphi(\mathfrak g_1)=\mathfrak g_2$，所以$\varphi$是形式 $\psi\otimes 1$，其中 $\psi\in\operatorname{Aut}_0(\mathfrak g)$，以及 $\psi$ 变换 $e_1$ 到 $e_2$。

事实上，$\operatorname{Aut}(\mathfrak g)$变换$(\mathfrak g,\mathfrak h,B,(X_\alpha)_{\alpha\in B})$的每个元素都会进入$\mathfrak g$的框架。根据命题 5，$\operatorname{Aut}(\mathfrak g)$ 模$\operatorname{Aut}_0(\mathfrak g)$ 的每个陪集恰好在一个点中满足$G$。

Q.E.D.

这是从 Cor 得出的。 1 群 Aut($\mathfrak{g}$)$/$Aut$_0(\mathfrak{g})$可以与Aut(R$,B$)识别，并且与R的Dynkin图的自同构的群同构。

这是从 Cor 得出的。 1 和章。 VI，板片I至IX。

§3, no. 3，科。第 10 号提案，Aut$_0(\mathfrak{g}) =$ Aut$_e(\mathfrak{g})$.Aut$_0(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$。另一方面，$\varepsilon$(Aut$_e(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$)$\supset W(R)$ by §2, no. 2，Cor。的 Th。 2、所以Aut$_0(\mathfrak{g},\mathfrak{h}) =$Aut$_e(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$.Ker$\varepsilon$。

我们可以假设 $k$ 是代数封闭的。令$s\in$Aut$_0(\mathfrak{g})$使得$s(\mathfrak{p}_1) =\mathfrak{p}_2$。令 $\mathfrak{h}$ 为 $\mathfrak{b}\cap s(\mathfrak{b}) ($§3, no. 3 中包含的 $\mathfrak{g}$ 的嘉当子代数，命题 10)。由于$\mathfrak{h}$和$s(\mathfrak{h})$是$s(\mathfrak{b})$的嘉当子代数，因此存在$u\in [\mathfrak{b},\mathfrak{b}]$使得$e^{adu}(\mathfrak{h}) =s(\mathfrak{h})$（第VII, §3, no. 4章，第3章）。 替换$s$乘以$e^{-adu}s$，我们被简化为这样的情况：$s(\mathfrak{h}) =\mathfrak{h}$，$s$然后诱导在Weyl群W的$\mathfrak{h}$元素$\sigma$上$(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$（提案 4）。令 C 为 Weyl 室相应的至 $\mathfrak{b}$。然后将$\mathfrak{p}_1$和$\mathfrak{p}_2$对应转换为C闭包中包含的$\mathfrak{h}_{\mathbf{R}}$的面$F_1$和$F_2$。我们有$\sigma (F_1) = F_2$。由于$\sigma \in W$，这意味着$F_1= F_2$（第V, §3, no. 3章，第2章）所以$\mathfrak{p}_1=\mathfrak{p}_2$。

令 K 为 $\mathfrak{g}$ 的杀戮形式。如果$s\in$自动（$\mathfrak{g}$），

对于所有$x, y\in \mathfrak{g}$。相反，对于所有$x, y\in \mathfrak{g}$，令$s$为V满足(2)和(3)中的元素。然后 Ker($s$) $= 0$，因此 $s$ 是双射，$s\in$ Aut($\mathfrak{g}$)。但是，对于所有$x, y\in \mathfrak{g}$、映射、$s \rightarrow [sx, sy]$和$s \rightarrow K(sx, sy)$，从V到$\mathfrak{g}$和$k$都是多项式。