对线性表示的补充

a) 首先假设L是有限次数n的K的扩张。由于 V \otimes_K L 和 W \otimes_K L 同构为 (A \otimes_K L) 模块，因此它们同构为 A-模；但是，作为 A-模，它们分别与 V^n 和 W^n 同构。现在V和W是有限长度的A-模；因此V（分别为W）是子模的族（M_i^{r_i}）_{1 \leq i \leq p}（分别为（N_j^{s_j}）_{1 \leq j \leq l}）的直和，使得M_i（分别为N_j）不可分解，并且其中两个具有不同指标的 M_i（分别为 N_j）不是同构的（代数，第 VIII, § 2, no. 2 章，第 1 章）。那么V^n（分别为W^n）是M_i^{n r_i}（分别为N_j^{ns_j}）的直和； (loc. cit.) p = q 且之后 N_j 的合适置换，M_i 与 N_i 同构，对于 1 \leq i \leq p，n r_i 等于 n s_i。因此，V与W同构。

b) 假设 K 是无穷大域。 假设意味着V和W在K上具有相同的维数。令(e_i)_{1 \leq i \leq m}和(e'_i)_{1 \leq i \leq m}为V和W在K上的基，以及A在K上的(a_\lambda) 基。 同构 u : V \otimes_K L \to W \otimes_K L 是一个双射 L-线性映射，同时是一个 (A \otimes_K L)-同态，在其他字它满足条件

Put $a_\lambda e_i = \sum_j \gamma_{\lambda ij} e_j, \ a_\lambda e'_i = \sum_j \gamma'_{\lambda ij} e'_j,$ where the $\gamma_{\lambda ij}$ and $\gamma'_{\lambda ij}$ belong to K, and $u(e_i) = \sum_j \xi_{ij} e'_j,$ where the $\xi_{ij}$ belong to L. 条件 (1) 可以写成

对于所有$\lambda, i, k$。通过假设，齐次线性方程 (2) 有解 $(\xi_{ij}) \in L^{m^2}$，使得 $\det(\xi_{ij}) \neq 0$。由于系统 (2) 属于的系数为 K，我们知道（代数，第 II, § 8, no. 5 命题 6），这个系统也承认 $K^{m^2}$ 中非平凡的解；令E为$M_m(K) = K^{m^2}$的向量子空间，而不是由这些解形成的零。令$(c_l)_{1 \leq l \leq p}$为$E$的基，并为任何矩阵$(\xi_{ij}) \in E$放入$(\xi_{ij}) = \sum_l \eta_l c_l$；那么 $\det(\xi_{ij})$ 是一个多项式 $P(\eta_1, \ldots, \eta_p)$，系数为 $K$。另一方面，我们知道（*loc.cit.*）$L^{m^2}$中的（2）的解是形式$\sum_l \zeta_l c_l$，这次是$\zeta_l \in L$；对于这样的解，$\det(\xi_{ij})$等于$P(\zeta_1, \ldots, \zeta_p)$。考虑到这一点，如果我们对所有$\eta_1, \ldots, \eta_p \in K$都有$P(\eta_1, \ldots, \eta_p) = 0$，则$P$的系数将是零，因为$K$是无限的；那么我们对于所有 $\zeta_1, \ldots, \zeta_p \in L$ 就会有 $P(\zeta_1, \ldots, \zeta_p) = 0$，这与我们的假设相反。因此，我们可以找到矩阵$(\xi_{ij}) \in E$使得$\det(\xi_{ij}) \neq 0$，并且相应的线性映射$V \to W$是同构。

c) 一般情况。设$\Omega$为$L$的代数闭扩张，$\Omega$中$K$的$K_0$代数闭包。 假设意味着$V \otimes_K \Omega$ 和$W \otimes_K \Omega$ 是同构的$(A \otimes_K \Omega)$ 模块。由于$K_0$是无限的，部分b)表明$V \otimes_K K_0$和$W \otimes_K K_0$是同构的$(A \otimes_K K_0)$模。在b)中保留记号，系统 (2) 承认解$(\xi_{ij}) \in K_0^{m^2}$，使得$\det(\xi_{ij}) \neq 0$。但是$\xi_{ij}$全部属于到有限次数的代数扩张$K_1$超过$K$。 $(A \otimes_K K_1)$-模块$V \otimes_K K_1$和$W \otimes_K K_1$是同构的，证明是通过使用a)完成的。

设$p$为$E$到$F$的投影。对于所有 $x \in E$，将

对于所有$y \in F$，我们都有$f(x) \in F$和$f(y) = y$，因此$f$是$E$的投影到$F$。另一方面，如果$t \in G$， 因此$f$与$\rho(G)$可交换，因此$\ker(f)$是$F$的补集，在$G$下稳定。

事实上，根据第 2 条命题，在这个代数之上，每模就是半单。

事实上，对于所有$x \in M$，让$Q$是$M$的投影到由$Q(x) = q^{-1} \sum_{g \in G} g(x)$定义的$M^G$上。如果$i$将$M^G$的典范嵌入代入$M$，则$Q \circ i$是$M^G$的恒等式映射，所以$(Q \otimes 1_{A'}) \circ (i \otimes 1_{A'})$是$M^G \otimes_A A'$的恒等式映射。由于$Q \otimes 1_{A'} = q^{-1} \sum_{g \in G} (g \otimes 1_{A'})$，$i \otimes 1_{A'}$的像是$(M \otimes A')^G$。另一方面，$i \otimes 1_{A'}$是所说的之前的内射。