Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。
§ 8。 向量空间中标量的域的限制
在本段中，K 表示 K 的域和 K' 子域。在集合 V 上，右（或左）向量空间结构在 K 定义上，乘以标量的限制，右（或左）向量空间结构超过K'。
1. K'-结构的定义
(a) 将V ( K ) ′ = V ′ ⊗ K ′ K V'_{(K)} = V' \otimes_{K'} K V ( K ) ′ = V ′ ⊗ K ′ K λ \lambda λ λ ( x ′ ⊗ ξ ) = x ′ ξ \lambda(x' \otimes \xi) = x'\xi λ ( x ′ ⊗ ξ ) = x ′ ξ x ′ ∈ V ′ , ξ ∈ K x' \in V', \xi \in K x ′ ∈ V ′ , ξ ∈ K
(b) V' 到向量 K 空间 W 的每个 K'-线性映射 f ′ f' f ′
(c) K' 上 V' 的每个基都是 K 上 V 的基。
(d) K' 上存在 V' 的基，它也是 K 上的 V 的基。
(e) 向量 K 空间 V 由 V' 生成，并且 V' 在 K' 上自由的每个子集在 K 上自由。
我们知道（§ 5, no. 1）V ( K ) ′ V'_{(K)} V ( K ) ′ ( x ′ ⊗ ξ ) η = x ′ ⊗ ( ξ η ) (x' \otimes \xi)\eta = x' \otimes (\xi\eta) ( x ′ ⊗ ξ ) η = x ′ ⊗ ( ξ η ) ξ , η \xi, \eta ξ , η x ′ ∈ V ′ x' \in V' x ′ ∈ V ′ f ′ f' f ′ V ( K ) ′ V'_{(K)} V ( K ) ′ f ˉ ′ \bar{f}' f ˉ ′ f ˉ ′ ( x ′ ⊗ 1 ) = f ′ ( x ′ ) \bar{f}'(x' \otimes 1) = f'(x') f ˉ ′ ( x ′ ⊗ 1 ) = f ′ ( x ′ ) x ′ ∈ V ′ x' \in V' x ′ ∈ V ′ λ \lambda λ j ˉ \bar{j} j ˉ λ \lambda λ f ′ : V ′ → W , f ˉ ′ ∘ λ − 1 f': V' \to W, \bar{f}' \circ \lambda^{-1} f ′ : V ′ → W , f ˉ ′ ∘ λ − 1 f ′ f' f ′ V ( K ) ′ V'_{(K)} V ( K ) ′ μ \mu μ μ ( x ′ ) = x ′ ⊗ 1 \mu(x') = x' \otimes 1 μ ( x ′ ) = x ′ ⊗ 1 x ′ ∈ V ′ x' \in V' x ′ ∈ V ′ μ ∘ λ = 1 V ( K ) ′ \mu \circ \lambda = 1_{V'_{(K)}} μ ∘ λ = 1 V ( K ) ′ λ ( μ ( x ′ ) ) = x ′ \lambda(\mu(x')) = x' λ ( μ ( x ′ )) = x ′ x ′ ∈ V ′ x' \in V' x ′ ∈ V ′ j : V ′ → V j: V' \to V j : V ′ → V λ ∘ μ = 1 V \lambda \circ \mu = 1_V λ ∘ μ = 1 V
对于 K' 上的 V' 的每个基 B'，V ( K ) ′ V'_{(K)} V ( K ) ′ v ′ ⊗ 1 v' \otimes 1 v ′ ⊗ 1 v ′ v' v ′ V ( K ) ′ V'_{(K)} V ( K ) ′ λ ( B ) = B ′ \lambda(B) = B' λ ( B ) = B ′ λ \lambda λ V ( K ) ′ V'_{(K)} V ( K ) ′ λ \lambda λ V ( K ) ′ V'_{(K)} V ( K ) ′
由于在 K' 上自由的 V' 的每个子集都包含在 K' 上的 V' 的基 (§ 7, no. 1, 定理 2)，(c) 意味着 (e)。最后，假设(e)成立；如果 B' 是 K' 上的 V' 的基，则它是 K 上的 V 的自由子集；另一方面，B' 生成 V' 超过 K'，因此生成 V 超过 K 假设；因此，B' 是 K 上的 V 的基，这证明 (e) 蕴涵 (c)。
设 B 为 K 上 V 的基。对于 K 的*每个* 子域 K'，由 B 生成的 V 的向量子 K' 空间承认 B 为 K' 上的基，因此是 V 上的 K' 结构。 对于例，如果K是可交换的并且V被取为多项式K-代数 K[X 1, ..., X_n]，则对于K的每个子域 K'，K'[X_1, ..., X_n]是V上的K'-结构。
2. 子空间的理性
令 V 为 K 上的右向量空间，具有 K'-结构 V'。如果属于到 V'，则 V 的向量被认为对于 K' 是有理数。 向量 V 的子 K 空间 W 被称为在 K' 上有理数，如果它是由向量在 K' 上有理数生成（在 K 上）。
引用了 1 · 被以下引用 1 引用了 命题 1
被以下引用 命题 2
令 (v'_i)_{i \in I} 为 K' 上 V' 的基，因此也是 K 上 V 的基 (no. 1, 命题 1)。为了使 V 的向量 x = ∑ i v i ′ ξ i \sum_i v'_i \xi_i ∑ i v i ′ ξ i ξ i ∈ K ′ \xi_i \in K' ξ i ∈ K ′ i ∈ I i \in I i ∈ I
如果 W 是 V 的向量子 K 空间，它是 K' 上的“有理”，则从定义 2 可以得出 W ′ = W ∩ V ′ W' = W \cap V' W ′ = W ∩ V ′ 生成 W 超过 K；另一方面，W' 中在 K' 上自由的每个子集在 K' 上也是自由的，因为它包含在 V' (no. 1, 命题 1) 中。由此可见 (no. 1, 命题 1) W' 是 W 上的 K'-结构 ，据说是由 V 上的 K'-结构 V'“诱导”的。
For every vector sub-K'-space W' of V', we shall denote by W'.K the vector sub-K-space of V consisting of the linear combinations of elements of W' with coefficients in K.
令 V 为 K 上的右向量空间，且 V' 为 V 上的 K' 结构。 The mapping W' \mapsto W'.K is a bijection of the set of vector sub-K'-spaces of V' onto the set of vector sub-K-spaces of V which are rational over K' and the inverse bijection is W \mapsto W \cap V'.
引用了 3 · 被以下引用 4 引用了 命题 19, II § 7 , 定义 2 , 命题 1
被以下引用 命题 9, II § 10 , 推论 2 , 推论 2 , 命题 5
显然，双射λ − 1 : V → V ′ ⊗ K ′ K \lambda^{-1}: V \to V' \otimes_{\mathbf{K'}} \mathbf{K} λ − 1 : V → V ′ ⊗ K ′ K λ \lambda λ x ′ ↦ x ′ ⊗ 1 x' \mapsto x' \otimes 1 x ′ ↦ x ′ ⊗ 1 ⊗ K ′ K \otimes_{\mathbf{K'}} \mathbf{K} ⊗ K ′ K
V 的向量子K空间的每个和和每个交在K'上有理数都是有理数子空间在K'*上。
引用了 1 · 被以下引用 1 引用了 推出, II § 7
被以下引用 命题 5
断言关于和是显而易见的。另一方面，如果( W i ′ ) i ∈ I (W'_i)_{i \in I} ( W i ′ ) i ∈ I V ′ V' V ′ K ′ \mathbf{K}' K ′ ( ⋂ i ∈ I W i ′ ) ⊗ K ′ K = ⋂ i ∈ I ( W i ⊗ K ′ K ) \left( \bigcap_{i \in I} W'_i \right) \otimes_{\mathbf{K}'} \mathbf{K} = \bigcap_{i \in I} (W_i \otimes_{\mathbf{K}'} \mathbf{K}) ( ⋂ i ∈ I W i ′ ) ⊗ K ′ K = ⋂ i ∈ I ( W i ⊗ K ′ K )
V V V B B B K \mathbf{K} K K ′ \mathbf{K}' K ′ K ′ \mathbf{K}' K ′
K \mathbf{K} K V V V K ′ \mathbf{K}' K ′ V ′ V' V ′ K ′ \mathbf{K}' K ′
引用了 1 引用了 命题 2
如果W ′ W' W ′ B B B V ′ V' V ′ K ′ \mathbf{K}' K ′ W ′ . K = V = V ′ . K W'.\mathbf{K} = V = V'.\mathbf{K} W ′ . K = V = V ′ . K V ′ = W ′ V' = W' V ′ = W ′
3. 线性映射的合理性
令V 1 , V 2 V_1, V_2 V 1 , V 2 K \mathbf{K} K K ′ \mathbf{K}' K ′ V 1 ′ , V 2 ′ V'_1, V'_2 V 1 ′ , V 2 ′ f ( V 1 ′ ) ⊂ V 2 ′ f(V'_1) \subset V'_2 f ( V 1 ′ ) ⊂ V 2 ′ K \mathbf{K} K f : V 1 → V 2 f : V_1 \to V_2 f : V 1 → V 2 K ′ \mathbf{K}' K ′
如果V 3 V_3 V 3 K \mathbf{K} K K ′ \mathbf{K}' K ′ V 3 ′ V'_3 V 3 ′ K \mathbf{K} K g : V 2 → V 3 g : V_2 \to V_3 g : V 2 → V 3 K ′ \mathbf{K}' K ′ g ∘ f : V 1 → V 3 g \circ f : V_1 \to V_3 g ∘ f : V 1 → V 3 K ′ \mathbf{K}' K ′
令V 1 , V 2 V_1, V_2 V 1 , V 2 V 1 , V 2 V_1, V_2 V 1 , V 2 K \mathbf{K} K V 1 ′ , V 2 ′ V'_1, V'_2 V 1 ′ , V 2 ′ K ′ \mathbf{K}' K ′ V 1 V_1 V 1 V 2 V_2 V 2 V 1 ′ ⊗ K ′ K V'_1 \otimes_{\mathbf{K}'} \mathbf{K} V 1 ′ ⊗ K ′ K V 2 ′ ⊗ K ′ K V'_2 \otimes_{\mathbf{K}'} \mathbf{K} V 2 ′ ⊗ K ′ K
引用了 2 · 被以下引用 5 引用了 命题 1 , 命题 19, II § 7
被以下引用 § 8. 。 向量空间中标量的域的限制 , 推论 1 , 推论 2 , 命题 5 , 命题 6
(i) *映射f ′ ↦ f ′ ⊗ 1 K = f ( K ) ′ f' \mapsto f' \otimes 1_{\mathbf{K}} = f'_{(\mathbf{K})} f ′ ↦ f ′ ⊗ 1 K = f ( K ) ′ H o m K ′ ( V 1 ′ , V 2 ′ ) \mathrm{Hom}_{\mathbf{K}'}(V'_1, V'_2) Hom K ′ ( V 1 ′ , V 2 ′ ) K \mathbf{K} K V 1 V_1 V 1 V 2 V_2 V 2 K ′ \mathbf{K}' K ′ K ′ \mathbf{K}' K ′ K \mathbf{K} K f : V 1 → V 2 f : V_1 \to V_2 f : V 1 → V 2 K ′ \mathbf{K}' K ′ f ′ : V 1 ′ → V 2 ′ f' : V'_1 \to V'_2 f ′ : V 1 ′ → V 2 ′ f f f V 1 ′ V'_1 V 1 ′
(ii) *对于K \mathbf{K} K f : V 1 → V 2 f : V_1 \to V_2 f : V 1 → V 2 K ′ \mathbf{K}' K ′
f ( V 1 ′ ) = f ( V 1 ) ∩ V 2 ′ and f − 1 ( V 2 ′ ) = V 1 ′ + K e r ( f ) .
f(V'_1) = f(V_1) \cap V'_2 \quad \text{and} \quad f^{-1}(V'_2) = V'_1 + \mathrm{Ker}(f).
f ( V 1 ′ ) = f ( V 1 ) ∩ V 2 ′ and f − 1 ( V 2 ′ ) = V 1 ′ + Ker ( f ) . (i) 通过上述证明，显然，如果f ′ : V 1 ′ → V 2 ′ f' : V'_1 \to V'_2 f ′ : V 1 ′ → V 2 ′ K ′ \mathbf{K}' K ′ f ( K ) ′ = f ′ ⊗ 1 K f'_{(\mathbf{K})} = f' \otimes 1_{\mathbf{K}} f ( K ) ′ = f ′ ⊗ 1 K K ′ \mathbf{K}' K ′ f ′ f' f ′ f ( K ) ′ f'_{(\mathbf{K})} f ( K ) ′ V 1 ′ V'_1 V 1 ′ f : V 1 → V 2 f : V_1 \to V_2 f : V 1 → V 2 K ′ \mathbf{K}' K ′ f ′ : V 1 ′ → V 2 ′ f' : V'_1 \to V'_2 f ′ : V 1 ′ → V 2 ′ K \mathbf{K} K f f f V 1 ′ V'_1 V 1 ′ f f f f ( K ) ′ f'_{(\mathbf{K})} f ( K ) ′ V 1 ′ V'_1 V 1 ′ V 1 V_1 V 1 K \mathbf{K} K f = f ( K ) ′ f = f'_{(\mathbf{K})} f = f ( K ) ′
(ii) 如果f = f ′ ⊗ 1 K f = f' \otimes 1_{\mathbf{K}} f = f ′ ⊗ 1 K f ( V 1 ) = f ( V 1 ′ ⊗ K ′ K ) = f ′ ( V 1 ′ ) ⊗ K ′ K f(V_1) = f(V'_1 \otimes_{\mathbf{K}'} \mathbf{K}) = f'(V'_1) \otimes_{\mathbf{K}'} \mathbf{K} f ( V 1 ) = f ( V 1 ′ ⊗ K ′ K ) = f ′ ( V 1 ′ ) ⊗ K ′ K f ′ ( V 1 ′ ) ⊂ V 2 ′ , f ( V 1 ′ ) = f ′ ( V 1 ′ ) ∩ V 2 ′ f'(V'_1) \subset V'_2, f(V'_1) = f'(V'_1) \cap V'_2 f ′ ( V 1 ′ ) ⊂ V 2 ′ , f ( V 1 ′ ) = f ′ ( V 1 ′ ) ∩ V 2 ′ f − 1 ( V 2 ′ ) = V 1 ′ + K e r ( f ) f^{-1}(V'_2) = V'_1 + \mathrm{Ker}(f) f − 1 ( V 2 ′ ) = V 1 ′ + Ker ( f )
命题3、Im ( f ) = ( Im ( f ′ ) ) ( K ) \operatorname{Im}(f) = (\operatorname{Im}(f'))_{(\mathbf{K})} Im ( f ) = ( Im ( f ′ ) ) ( K )
Ker ( f ′ ) = ( Ker ( f ′ ) ) ( K ) , Coker ( f ) = ( Coker ( f ′ ) ) ( K ) .
\operatorname{Ker}(f') = (\operatorname{Ker}(f'))_{(\mathbf{K})}, \quad \operatorname{Coker}(f) = (\operatorname{Coker}(f'))_{(\mathbf{K})}.
Ker ( f ′ ) = ( Ker ( f ′ ) ) ( K ) , Coker ( f ) = ( Coker ( f ′ ) ) ( K ) . 特别是，对于
f f f 是单射的（或满射，零），
f ′ f' f ′ 是单射的是必要且充分的。如果
f f f 是双射，则其逆映射在
K ′ \mathbf{K}' K ′ 上是有理数。
引用了 2 · 被以下引用 2 引用了 命题 3 , 推论, II § 7
被以下引用 推论 2 , 命题 4
这是 § 7, no. 9 的特例，命题 18 的推论。
令f : V 1 → V 2 f : V_1 \to V_2 f : V 1 → V 2 K ′ \mathbf{K}' K ′ K \mathbf{K} K K \mathbf{K} K W 1 W_1 W 1 V 1 V_1 V 1 W 2 W_2 W 2 V 2 V_2 V 2 K ′ \mathbf{K}' K ′ f ( W 1 ) f(W_1) f ( W 1 ) f − 1 ( W 2 ) f^{-1}(W_2) f − 1 ( W 2 ) K \mathbf{K} K V 2 V_2 V 2 V 1 V_1 V 1 K ′ \mathbf{K}' K ′
引用了 3 · 被以下引用 3 引用了 命题 2 , 命题 3 , 推论 1
被以下引用 命题 4 , 命题 5 , 命题 6
在命题 3 的记号中，对于V 1 ′ V'_1 V 1 ′ f ( K ) ′ ( W 1 ′ ⊗ K ′ K ) = f ′ ( W 1 ′ ) ⊗ K ′ K f'_{(\mathbf{K})}(W'_1 \otimes_{\mathbf{K}'} \mathbf{K}) = f'(W'_1) \otimes_{\mathbf{K}'} \mathbf{K} f ( K ) ′ ( W 1 ′ ⊗ K ′ K ) = f ′ ( W 1 ′ ) ⊗ K ′ K K ′ \mathbf{K}' K ′ W 1 ′ W'_1 W 1 ′ W 1 W_1 W 1 W 2 ′ W'_2 W 2 ′ V 2 ′ V'_2 V 2 ′ K ′ \mathbf{K}' K ′ g ′ g' g ′ K ′ \mathbf{K}' K ′ V 2 ′ → V 2 ′ / W 2 ′ V'_2 \to V'_2/W'_2 V 2 ′ → V 2 ′ / W 2 ′ f ′ ( W 2 ′ ) = Ker ( g ′ ∘ f ′ ) f'(W'_2) = \operatorname{Ker}(g' \circ f') f ′ ( W 2 ′ ) = Ker ( g ′ ∘ f ′ )
f ( K ) ′ − 1 ( W 2 ′ ⊗ K ′ K ) = f ′ − 1 ( W 2 ′ ) ⊗ K ′ K ,
{f'_{(\mathbf{K})}}^{-1}(W'_2 \otimes_{\mathbf{K}'} \mathbf{K}) = {f'}^{-1}(W'_2) \otimes_{\mathbf{K}'} \mathbf{K},
f ( K ) ′ − 1 ( W 2 ′ ⊗ K ′ K ) = f ′ − 1 ( W 2 ′ ) ⊗ K ′ K , 从而断言与
W 2 W_2 W 2 相关。
令V 1 , V 2 V_1, V_2 V 1 , V 2 K \mathbf{K} K K ′ \mathbf{K}' K ′ V 1 ′ , V 2 ′ V'_1, V'_2 V 1 ′ , V 2 ′ V 1 ′ × V 2 ′ V'_1 \times V'_2 V 1 ′ × V 2 ′ V 1 × V 2 V_1 \times V_2 V 1 × V 2 K ′ \mathbf{K}' K ′ K ′ \mathbf{K}' K ′ V 1 ′ V'_1 V 1 ′ V 2 ′ V'_2 V 2 ′
对于K \mathbf{K} K f : V 1 → V 2 f : V_1 \to V_2 f : V 1 → V 2 K ′ \mathbf{K}' K ′ V 1 × V 2 V_1 \times V_2 V 1 × V 2 K ′ \mathbf{K}' K ′ Γ \Gamma Γ K ′ \mathbf{K}' K ′
引用了 2 · 被以下引用 2 引用了 推论 1 , 推论 2
被以下引用 引理 1 , 定理 1
设g g g V 1 V_1 V 1 V 1 × V 2 V_1 \times V_2 V 1 × V 2 x 1 ↦ ( x 1 , f ( x 1 ) ) x_1 \mapsto (x_1, f(x_1)) x 1 ↦ ( x 1 , f ( x 1 )) K \mathbf{K} K Γ = g ( V 1 ) \Gamma = g(V_1) Γ = g ( V 1 ) f f f K ′ \mathbf{K}' K ′ Γ \Gamma Γ Γ \Gamma Γ K ′ \mathbf{K}' K ′ V 1 × V 2 V_1 \times V_2 V 1 × V 2 K ′ \mathbf{K}' K ′ p 1 , p 2 p_1, p_2 p 1 , p 2 p r 1 , p r 2 \mathrm{pr}_1, \mathrm{pr}_2 pr 1 , pr 2 Γ \Gamma Γ K \mathbf{K} K Γ \Gamma Γ K ′ \mathbf{K}' K ′ V 1 V_1 V 1 V 2 V_2 V 2 p 1 p_1 p 1 q 1 q_1 q 1 K ′ \mathbf{K}' K ′ f = p 2 ∘ q 1 f = p_2 \circ q_1 f = p 2 ∘ q 1
4. 理性线性形式
令V V V K \mathbf{K} K K ′ \mathbf{K}' K ′ V ′ V' V ′ K d ′ K'_d K d ′ K \mathbf{K} K K d K_d K d K ′ \mathbf{K}' K ′ x ∗ ∈ V ∗ x^* \in V^* x ∗ ∈ V ∗ K ′ \mathbf{K}' K ′ V V V K d K_d K d K ′ \mathbf{K}' K ′
V 和 K_d 上的 K'-结构。凭借no. 3，命题 3，这些线性形式中的集合R'是复合映射下V'的对偶V'*的像
(I)
V ′ ∗ → ϕ K ⊗ K ′ V ′ ∗ → υ V ∗ {V'}^* \xrightarrow{\phi} K \otimes_{K'} {V'}^* \xrightarrow{\upsilon} V^* V ′ ∗ ϕ K ⊗ K ′ V ′ ∗ υ V ∗ 其中ϕ ( x ′ ∗ ) = 1 ⊗ x ′ ∗ \phi({x'}^*) = 1 \otimes {x'}^* ϕ ( x ′ ∗ ) = 1 ⊗ x ′ ∗ υ ( ξ ⊗ x ′ ∗ ) \upsilon(\xi \otimes {x'}^*) υ ( ξ ⊗ x ′ ∗ ) y ∗ y^* y ∗ y ∗ ( x ′ ) = ξ ⟨ x ′ ∗ , x ′ ⟩ y^*(x') = \xi \langle {x'}^*, x' \rangle y ∗ ( x ′ ) = ξ ⟨ x ′ ∗ , x ′ ⟩ x ′ ∈ V ′ x' \in V' x ′ ∈ V ′
令 H 为 V* 的子集，其中元素是 K' 上的有理线性形式。对于所有x ∗ ∈ H x^* \in H x ∗ ∈ H x ∗ x^* x ∗
相反，令 W 为 K' 上 V 有理数的向量子 K 空间，以便 W 被标识为 W ′ ⊗ K ′ K W' \otimes_{K'} K W ′ ⊗ K ′ K W ′ = W ∩ V ′ W' = W \cap V' W ′ = W ∩ V ′ x ′ ∗ ∈ V ′ ∗ {x'}^* \in {V'}^* x ′ ∗ ∈ V ′ ∗ x ∗ ∈ V ∗ x^* \in V^* x ∗ ∈ V ∗
Ker ( x ∗ ) = ( Ker ( x ′ ∗ ) ) ⊗ K ′ K and Ker ( x ∗ ′ ) = ( Ker ( x ∗ ) ) ∩ V ′ .
\operatorname{Ker}(x^*) = (\operatorname{Ker}({x'}^*)) \otimes_{K'} K \quad \text{and} \quad \operatorname{Ker}(x^{*\prime}) = (\operatorname{Ker}(x^*)) \cap V'.
Ker ( x ∗ ) = ( Ker ( x ′ ∗ )) ⊗ K ′ K and Ker ( x ∗ ′ ) = ( Ker ( x ∗ )) ∩ V ′ . 令 H' 为 W' 在 V'* 中的正交；我们知道 (§ 7, no. 5, 定理 7) W' 是 H' 在 V' 中的正交；如果在映射 (1) 下，H 是 V* 中 H' 的像，则根据上面的结论，W 是V 中 H 的正交，考虑到 no. 7，推论到命题 14。
5. 适用于线性系统
(2)
∑ i ∈ I α μ i ξ i = 0 ( μ ∈ M )
\sum_{i \in I} \alpha_{\mu i} \xi_i = 0 \quad (\mu \in M)
i ∈ I ∑ α μ i ξ i = 0 ( μ ∈ M ) 其系数
α μ i \alpha_{\mu i} α μ i 属于到K'，K的元素的系统由……组成每解
( ξ i ) (\xi_i) ( ξ i ) 为线性组合，K中的系数为解
( ξ i ′ ) (\xi'_i) ( ξ i ′ ) (2) K' 的元素的由……组成。
(ii) 给定系统线性方程
∑ i ∈ I α μ i ξ i = β μ ( μ ∈ M )
\sum_{i \in I} \alpha_{\mu i} \xi_i = \beta_\mu \quad (\mu \in M)
i ∈ I ∑ α μ i ξ i = β μ ( μ ∈ M ) 其系数 α μ i \alpha_{\mu i} α μ i 和右侧 β μ \beta_\mu β μ 属于到 K ′ K' K ′ K K K K ′ K' K ′
(i) 对于每个集合 S，让右侧向量 K 空间K d ( S ) K_d^{(S)} K d ( S ) K ′ K' K ′ K d ′ ( S ) K_{d'}^{(S)} K d ′ ( S ) f f f K d ( I ) K_d^{(I)} K d ( I ) K d ( M ) K_d^{(M)} K d ( M ) μ ∈ M \mu \in M μ ∈ M ( ξ i ) i ∈ I (\xi_i)_{i \in I} ( ξ i ) i ∈ I ( ζ μ ) μ ∈ M (\zeta_\mu)_{\mu \in M} ( ζ μ ) μ ∈ M ζ μ = ∑ i ∈ I α μ i ξ i \zeta_\mu = \sum_{i \in I} \alpha_{\mu i} \xi_i ζ μ = ∑ i ∈ I α μ i ξ i f f f K ′ K' K ′ K d ( I ) K_d^{(I)} K d ( I ) K ′ K' K ′ K ′ K' K ′
(ii) 我们将 K 视为左向量 K ′ K' K ′ K ′ K' K ′ p p p K s ′ K'_s K s ′ ( ξ i ) (\xi_i) ( ξ i ) ∑ i ∈ I α μ i p ( ξ i ) = p ( ∑ i ∈ I α μ i ξ i ) = p ( β μ ) = β μ \sum_{i \in I} \alpha_{\mu i} p(\xi_i) = p \left( \sum_{i \in I} \alpha_{\mu i} \xi_i \right) = p(\beta_\mu) = \beta_\mu ∑ i ∈ I α μ i p ( ξ i ) = p ( ∑ i ∈ I α μ i ξ i ) = p ( β μ ) = β μ ( p ( ξ i ) ) (p(\xi_i)) ( p ( ξ i )) K ′ K' K ′
如果命题 6 对于 K 和 K ′ K' K ′ K ′ K' K ′
6. 最小的域理性
令 V 为右向量 K 空间，具有 K ′ K' K ′ V ′ V' V ′ K ′ ⊂ L ⊂ K K' \subset L \subset K K ′ ⊂ L ⊂ K V L = V ′ . L V_L = V'.L V L = V ′ . L K ′ K' K ′ V ′ V' V ′ V L V_L V L V L V_L V L V ′ V' V ′ V L V_L V L K ′ K' K ′
(i) *令 V 为具有 K' 结构 V' 的右向量 K 空间。对于每个向量x ∈ V x \in V x ∈ V K ′ K' K ′ x x x K ′ ( x ) K'(x) K ′ ( x ) K ′ ( W ) K'(W) K ′ ( W )
引用了 1 引用了 II § 10. 。 矩阵
(ii) 令V 1 , V 2 V_1, V_2 V 1 , V 2 V 1 ′ , V 2 ′ V_1', V_2' V 1 ′ , V 2 ′ V 1 V_1 V 1 V 2 V_2 V 2 K ′ K' K ′ K ′ ( f ) K'(f) K ′ ( f ) 。
我们首先证明断言 (i) 对于向量 x ∈ V x \in V x ∈ V K ′ K' K ′ V ′ V' V ′ K ′ K' K ′ V L V_L V L K ′ ⊂ L ⊂ K K' \subset L \subset K K ′ ⊂ L ⊂ K x = ∑ b ∈ B b ξ b x = \sum_{b \in B} b \xi_b x = ∑ b ∈ B b ξ b ξ b \xi_b ξ b 由 K' 生成 ，ξ b \xi_b ξ b b ∈ B b \in B b ∈ B
接下来我们证明(ii)。令B 1 , B 2 B_1, B_2 B 1 , B 2 V 1 , V 2 V_1, V_2 V 1 , V 2 K ′ K' K ′ b 1 ∈ B 1 , f ( b 1 ) = ∑ b 2 ∈ B 2 b 2 α b 2 b 1 b_1 \in B_1, f(b_1) = \sum_{b_2 \in B_2} b_2 \alpha_{b_2 b_1} b 1 ∈ B 1 , f ( b 1 ) = ∑ b 2 ∈ B 2 b 2 α b 2 b 1 ( α b 2 b 1 ) (\alpha_{b_2 b_1}) ( α b 2 b 1 ) f f f B 1 B_1 B 1 B 2 B_2 B 2 B 1 B_1 B 1 B 2 B_2 B 2 ( V 1 ) L (V_1)_L ( V 1 ) L ( V 2 ) L (V_2)_L ( V 2 ) L K ′ ⊂ L ⊂ K K' \subset L \subset K K ′ ⊂ L ⊂ K f f f α b 2 b 1 \alpha_{b_2 b_1} α b 2 b 1 α b 2 b 1 \alpha_{b_2 b_1} α b 2 b 1 b 1 ∈ B 1 , b 2 ∈ B 2 b_1 \in B_1, b_2 \in B_2 b 1 ∈ B 1 , b 2 ∈ B 2
最后，为了对V的子空间W建立断言(i)，我们首先要证明以下引理：
令V为右向量K空间，具有K'结构V'和V的W向量子K空间。存在V的两个向量子K空间W 1 , W 2 W_1, W_2 W 1 , W 2 W 1 W_1 W 1 W 2 W_2 W 2 W 1 × W 2 W_1 \times W_2 W 1 × W 2 W 1 W_1 W 1 W 2 W_2 W 2
引用了 2 · 被以下引用 1 引用了 定理 2, II § 7 , 命题 4
被以下引用 定理 1
设 B 是 K' 上 V 有理数的基。 § 7, no. 1的应用定理2，到W超过K的基，视为V的自由子集，以及该自由子集和B的生成的系统并，可见存在B的子集C，使得V是W的直和，并且C生成V的子空间W 2 W_2 W 2 W 1 W_1 W 1 B − C B - C B − C B ⊂ V ′ B \subset V' B ⊂ V ′ W 1 W_1 W 1 W 2 W_2 W 2 x ∈ W 1 x \in W_1 x ∈ W 1 W 2 W_2 W 2 g ( x ) g(x) g ( x ) x + g ( x ) ∈ W x + g(x) \in W x + g ( x ) ∈ W W 2 W_2 W 2
证明引理后，可知当且仅当g在L（no. 3，命题 4）上有理数时，W在K包含K'的子域L上是有理数。 最小的域K ′ ( g ) K'(g) K ′ ( g ) K ′ ( g ) K'(g) K ′ ( g )
7. 判据为了理性
对于 K 的每个子域 L，令 E n d L ( K ) \mathrm{End}_L(K) End L ( K ) 左向量空间 ；如果 L 包含于 K'，E n d L ( K ) \mathrm{End}_L(K) End L ( K ) E n d K ′ ( K ) \mathrm{End}_{K'}(K) End K ′ ( K ) E n d K ′ ( K ) \mathrm{End}_{K'}(K) End K ′ ( K ) M \mathscr{M} M 最大的子域 L，并且使得 M \mathscr{M} M E n d L ( K ) \mathrm{End}_L(K) End L ( K ) ξ ∈ K \xi \in K ξ ∈ K η ∈ K \eta \in K η ∈ K ϕ ∈ M \phi \in \mathscr{M} ϕ ∈ M ϕ ( ξ η ) = ξ ⋅ ϕ ( η ) \phi(\xi \eta) = \xi \cdot \phi(\eta) ϕ ( ξ η ) = ξ ⋅ ϕ ( η ) ξ − 1 η \xi^{-1} \eta ξ − 1 η η \eta η ϕ ( ξ − 1 η ) = ξ − 1 ⋅ ϕ ( η ) \phi(\xi^{-1} \eta) = \xi^{-1} \cdot \phi(\eta) ϕ ( ξ − 1 η ) = ξ − 1 ⋅ ϕ ( η ) ξ ≠ 0 \xi \neq 0 ξ = 0 M \mathscr{M} M χ ( M ) \chi(\mathscr{M}) χ ( M )
现在令 V 为具有 K'-结构 V' 的右向量 K 空间。对于所有ϕ ∈ E n d K ′ ( K ) \phi \in \mathrm{End}_{K'}(K) ϕ ∈ End K ′ ( K ) Z \mathbf{Z} Z ϕ v \phi_v ϕ v ϕ V ( x ′ . ξ ) = x ′ . ϕ ( ξ ) \phi_V(x'.\xi) = x'.\phi(\xi) ϕ V ( x ′ . ξ ) = x ′ . ϕ ( ξ ) x ′ ∈ V ′ x' \in V' x ′ ∈ V ′ ξ ∈ K \xi \in K ξ ∈ K Z \mathbf{Z} Z V ′ ⊗ K ′ K V' \otimes_{K'} K V ′ ⊗ K ′ K λ \lambda λ x ′ ⊗ ξ x' \otimes \xi x ′ ⊗ ξ x ′ . ξ x'.\xi x ′ . ξ ϕ V \phi_V ϕ V λ ∘ ( 1 V ′ ⊗ ϕ ) ∘ λ − 1 \lambda \circ (1_{V'} \otimes \phi) \circ \lambda^{-1} λ ∘ ( 1 V ′ ⊗ ϕ ) ∘ λ − 1
设M \mathscr{M} M E n d K ′ ( K ) \mathrm{End}_{K'}(K) End K ′ ( K ) L = χ ( M ) L = \chi(\mathscr{M}) L = χ ( M ) M \mathscr{M} M
引用了 2 引用了 引理 1 , 命题 4
(i) 令 V 为具有 K' 结构的右向量 K 空间。为了使向量x ∈ V x \in V x ∈ V ϕ V ( x . η ) = x . ϕ ( η ) \phi_V(x.\eta) = x.\phi(\eta) ϕ V ( x . η ) = x . ϕ ( η ) ϕ ∈ M \phi \in \mathscr{M} ϕ ∈ M η ∈ K \eta \in K η ∈ K ϕ V ( W ) ⊂ W \phi_V(W) \subset W ϕ V ( W ) ⊂ W ϕ ∈ M \phi \in \mathscr{M} ϕ ∈ M
(ii) 令 V 1 , V 2 V_1, V_2 V 1 , V 2 V 1 V_1 V 1 V 2 V_2 V 2 f ( ϕ V 1 ( x 1 ) ) = ϕ V 2 ( f ( x 1 ) ) f(\phi_{V_1}(x_1)) = \phi_{V_2}(f(x_1)) f ( ϕ V 1 ( x 1 )) = ϕ V 2 ( f ( x 1 )) x 1 ∈ V 1 x_1 \in V_1 x 1 ∈ V 1 ϕ ∈ M \phi \in \mathscr{M} ϕ ∈ M
我们首先证明 x 的断言 (i)。设 B 为 K' 上 V 有理数的基，并写为 x = ∑ b ∈ B b . ξ b x = \sum_{b \in B} b.\xi_b x = ∑ b ∈ B b . ξ b ϕ ∈ M \phi \in \mathscr{M} ϕ ∈ M η ∈ K \eta \in K η ∈ K
ϕ V ( x . η ) − x . ϕ ( η ) = ∑ b ∈ B b . ( ϕ ( ξ b η ) − ξ b . ϕ ( η ) )
\phi_V(x.\eta) - x.\phi(\eta) = \sum_{b \in B} b.(\phi(\xi_b\eta) - \xi_b.\phi(\eta))
ϕ V ( x . η ) − x . ϕ ( η ) = b ∈ B ∑ b . ( ϕ ( ξ b η ) − ξ b . ϕ ( η )) 因此，关系
“对于所有ϕ ∈ M \phi \in \mathscr{M} ϕ ∈ M η ∈ K \eta \in K η ∈ K ϕ V ( x . η ) = x . ϕ ( η ) \phi_V(x.\eta) = x.\phi(\eta) ϕ V ( x . η ) = x . ϕ ( η )
和
“对于所有 ϕ ∈ M \phi \in \mathscr{M} ϕ ∈ M b ∈ B b \in B b ∈ B η ∈ K \eta \in K η ∈ K ϕ ( ξ b η ) = ξ b . ϕ ( η ) \phi(\xi_b\eta) = \xi_b.\phi(\eta) ϕ ( ξ b η ) = ξ b . ϕ ( η )
是等价的。其中第二个关系意味着对于所有b ∈ B b \in B b ∈ B ξ b ∈ χ ( M ) \xi_b \in \chi(\mathscr{M}) ξ b ∈ χ ( M )
接下来我们证明(ii)。为了使 f 在 L 上有理数，对于所有 x 1 ′ ∈ V 1 x'_1 \in V_1 x 1 ′ ∈ V 1 f ( x 1 ′ ) f(x'_1) f ( x 1 ′ ) V 2 V_2 V 2 V 1 V_1 V 1 x 1 x_1 x 1 f ( x 1 ) f(x_1) f ( x 1 )
f ( x 1 ′ ) . ϕ ( η ) = ϕ V 2 ( f ( x 1 ′ ) . η ) for ϕ ∈ M and η ∈ K
f(x'_1).\phi(\eta) = \phi_{V_2}(f(x'_1).\eta) \quad \text{for } \phi \in \mathscr{M} \text{ and } \eta \in K
f ( x 1 ′ ) . ϕ ( η ) = ϕ V 2 ( f ( x 1 ′ ) . η ) for ϕ ∈ M and η ∈ K 也可以写成
f ( ϕ V 1 ( x 1 ′ . η ) ) = ϕ V 2 ( f ( x 1 ′ . η ) ) for ϕ ∈ M and η ∈ K .
f(\phi_{V_1}(x'_1.\eta)) = \phi_{V_2}(f(x'_1.\eta)) \quad \text{for } \phi \in \mathscr{M} \text{ and } \eta \in K.
f ( ϕ V 1 ( x 1 ′ . η )) = ϕ V 2 ( f ( x 1 ′ . η )) for ϕ ∈ M and η ∈ K . 由于 V 1 V_1 V 1 V 1 V_1 V 1
f ( ϕ V 1 ( x 1 ) ) = ϕ V 2 ( f ( x 1 ) )
f(\phi_{V_1}(x_1)) = \phi_{V_2}(f(x_1))
f ( ϕ V 1 ( x 1 )) = ϕ V 2 ( f ( x 1 )) 对于所有 x 1 ∈ V 1 x_1 \in V_1 x 1 ∈ V 1 ϕ ∈ M \phi \in \mathscr{M} ϕ ∈ M
最后，为了证明（i）中的第二个断言，我们使用no. 6，引理 1：W是K-线性映射g : W 1 → W 2 g : W_1 \to W_2 g : W 1 → W 2 g ( ϕ W 1 ( x 1 ) ) = ϕ W 2 ( g ( x 1 ) ) g(\phi_{W_1}(x_1)) = \phi_{W_2}(g(x_1)) g ( ϕ W 1 ( x 1 )) = ϕ W 2 ( g ( x 1 )) x 1 ∈ W 1 x_1 \in W_1 x 1 ∈ W 1 ϕ ∈ M \phi \in \mathscr{M} ϕ ∈ M ϕ v = ϕ W 1 × ϕ W 2 \phi_v = \phi_{W_1} \times \phi_{W_2} ϕ v = ϕ W 1 × ϕ W 2 ϕ ∈ M \phi \in \mathscr{M} ϕ ∈ M ϕ v \phi_v ϕ v
习题
参见习题为 § 8 。