(i) 如果 $\alpha +\beta \not= 0,\mathfrak{g}^{\alpha}$ 和 $\mathfrak{g}^{\beta}$ 正交。 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$到$\mathfrak{g}^{\alpha}\times \mathfrak{g}^{-\alpha}$的限制是非简并的。 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$到$\mathfrak{h}$的限制是非简并的。

(ii) 设 $x\in \mathfrak{g}^{\alpha},y\in \mathfrak{g}^{-\alpha}$ 和 $h\in \mathfrak{h}$。然后 $[x, y]\in \mathfrak{h}$ 和

断言(i)是第10章第10(iii)条提案的一个特例。 VII, §1, no. 3。如果$x\in \mathfrak{g}^{\alpha},y\in \mathfrak{g}^{-\alpha}$和$h\in \mathfrak{h}$，我们有$[x, y]\in \mathfrak{g}^{\alpha-\alpha}=\mathfrak{h}$，并且

(i) 向量空间 $\mathfrak{g}^{\alpha}$ 等于维数 1。

(ii) $\mathfrak{h}$的向量子空间$\mathfrak{h}_{\alpha}= [\mathfrak{g}^{\alpha},\mathfrak{g}^{-\alpha}]$是维数1。包含唯一元素$H_{\alpha}$使得$\alpha (H_{\alpha}) = 2$。

(iii) 向量子空间 $\mathfrak{s}_{\alpha}=\mathfrak{h}_{\alpha}+\mathfrak{g}^{\alpha}+\mathfrak{g}^{-\alpha}$ 是 $\mathfrak{g}$ 的谎言子代数。

(iv) 如果$X_{\alpha}$是$\mathfrak{g}^{\alpha}$的非零元素，则存在唯一的$X_{-\alpha}\in \mathfrak{g}^{-\alpha}$使得$[X_{\alpha}, X_{-\alpha}] =-H_{\alpha}$。令$\varphi$为从$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$到$\mathfrak{g}$的线性映射，需要$X_+$到$X_{\alpha},X_-$到$X_{-\alpha}$，以及$H$到$H_{\alpha}$；那么$\varphi$就是从李代数$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$到李代数$\mathfrak{s}_{\alpha}$的同构。

a) 令$h_{\alpha}$为$\mathfrak{h}$的唯一元素，使得$\alpha (h) =\langle h_{\alpha}, h\rangle$对于所有$h\in \mathfrak{h}$。根据提案 $1, [x, y] =\langle x, y\rangle h_{\alpha}$ 适用于所有 $x\in \mathfrak{g}^{\alpha},y\in \mathfrak{g}^{-\alpha}$；另一方面$\langle \mathfrak{g}^{\alpha},\mathfrak{g}^{-\alpha}\rangle \not= 0$。因此$\mathfrak{h}_{\alpha}= [\mathfrak{g}^{\alpha},\mathfrak{g}^{-\alpha}] =kh_{\alpha}$。

b) 选择$x\in \mathfrak{g}^{\alpha},y\in \mathfrak{g}^{-\alpha}$使得$\langle x, y\rangle = 1$，所以$[x, y] =h_{\alpha}$。回想一下$[h_{\alpha}, x] =\alpha (h_{\alpha})x, [h_{\alpha}, y] =-\alpha (h_{\alpha})y$。如果$\alpha (h_{\alpha}) = 0$，则$kx+ky+kh_{\alpha}$是$\mathfrak{g}$的幂零子代数$\mathfrak{t}$；由于$h_{\alpha}\in [\mathfrak{t},\mathfrak{t}]$，ad$_{\mathfrak{g}}h_{\alpha}$是幂零的（第I, §5, no. 3，第1章），这是荒谬的，因为ad$_{\mathfrak{g}}h_{\alpha}$非零半单。所以$\alpha (h_{\alpha})\not= 0$。因此存在唯一的$H_{\alpha}\in \mathfrak{h}_{\alpha}$使得$\alpha (H_{\alpha}) = 2$，这证明了(ii)。

c) 选择 $\mathfrak{g}^{\alpha}$ 的非零元素 $X_{\alpha}$。存在$X_{-\alpha}\in \mathfrak{g}^{-\alpha}$使得$[X_{\alpha}, X_{-\alpha}] =-H_{\alpha}$（从$[X_{\alpha},\mathfrak{g}^{-\alpha}] =\mathfrak{h}_{\alpha}$到$b$）$)$。然后

因此$kX_{\alpha}+kX_{-\alpha}+kH_{\alpha}$是$\mathfrak{g}$的子代数，并且从$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$到$kX_{\alpha}+kX_{-\alpha}+kH_{\alpha}$的线性映射$\varphi$使得$\varphi (X_+) =X_{\alpha},\varphi (X_-) =X_{-\alpha}$，$\varphi (H) =H_{\alpha}$是李代数的同构。

d) 假设暗淡$\mathfrak{g}^{\alpha}>1$。令 $y$ 为 $\mathfrak{g}^{-\alpha}$ 的非零元素。存在 $\mathfrak{g}_{\alpha}$ 的非零元素 $X_{\alpha}$，使得 $\langle y, X_{\alpha}\rangle = 0$。 选择$X_{-\alpha}$如c)中，并考虑从$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$到$\mathfrak{g}$的表示$\rho :u \rightarrow$和$_{\mathfrak{g}}\varphi (u)$。我们有

因此，$y$对于权$-2$的$\rho$来说是原语，这是与……矛盾§1, no. 2的第2条命题。这就证明了(i)。

e) 断言 (iii) 现在是 c) 的推论。另一方面，如果$X_{\alpha}$是$\mathfrak{g}^{\alpha}$的非零元素，则c)中构造的元素$X_{-\alpha}$是$\mathfrak{g}^{-\alpha}$的唯一元素，使得$[X_{\alpha}, X_{-\alpha}] =-H_{\alpha}$自昏暗$\mathfrak{g}^{-\alpha}= 1$以来。 (iv) 的最后一个断言是c) 的推论。 Q.E.D.

记号 $h_{\alpha},H_{\alpha},\mathfrak{s}_{\alpha}$ 将在下文中保留。 （对于定义$h_{\alpha}$，我们取$\langle \cdot ,\cdot \rangle$等于杀戮形式。）如果$X_{\alpha}$是$\mathfrak{g}^{\alpha}$的非零元素，则Th的同构$\varphi$。 1 和 $\mathfrak{g}$ 上 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$ 的表示 $u \rightarrow$ ad$_{\mathfrak{g}}\varphi (u)$ 将被认为与 $X_{\alpha}$ 相关联。

事实上，ad $a$.ad $b$ 使每个 $\mathfrak{g}^{\gamma}$ 保持稳定，并且其限制到 $\mathfrak{g}^{\gamma}$ 是位似，比率为 $\gamma (a)\gamma (b)$；如果$\gamma \not= 0$，则变暗$\mathfrak{g}^{\gamma}= 1$。

（一）$\beta (H_{\alpha})\in \mathbf{Z}$。

(ii) 如果$\Phi$表示$\mathfrak{g},\Phi (H_{\alpha}, H_{\beta})\in \mathbf{Z}$的杀戮形式。

令$X_{\alpha}$为$\mathfrak{g}^{\alpha}$的非零元素，并令$\rho$为与$X_{\alpha}$伴随的$\mathfrak{g}$上的$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$的表示。 $\rho (H)$中的特征值为0，$\beta (H_{\alpha})$为$\beta \in R$。因此 (i) 从 §1, no. 2 得出，Cor.提案 2 的断言 (ii) 由 (i) 和 Cor. 得出。的 Th。 1.Q.E.D.

令$\alpha \in R,X_{\alpha}$为$\mathfrak{g}^{-\alpha}$的$\mathfrak{g}^{\alpha},X_{-\alpha}$元素的非零元素，使得$[X_{\alpha}, X_{-\alpha}] =-H_{\alpha}$和$\mathfrak{g}$上的$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$的$\rho$表示与$X_{\alpha}$相关联。设$\pi$为$\mathfrak{g}$上$\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k)$的表示，与$\rho ($§1, no. 4兼容，Th。 2）。由于 ad $X_{\alpha}$ 是幂零的（第 VII, §1, no. 3 章，命题 10 (iv)），$\pi (e^{X_+}) =e^{adX_{\alpha}}$ 是 $\mathfrak{g}$ 的初等自同构。类似地，$\pi (e^{X_-}) =$$e^{adX_{-\alpha}}$是$\mathfrak{g}$的初等自同构。因此$\pi (\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k))\subset$Aut$_e(\mathfrak{g})$。我们利用§1, no. 5的记号$\theta (t)$。对于$t\in k^*$，输入

(ii) 对于所有$\beta \in R,\theta_{\alpha}(t)(\mathfrak{g}^{\beta}) =\mathfrak{g}^{\beta-\beta(H_{\alpha})\alpha}$。

(iii) 如果 $\alpha , \beta \in R,\beta -\beta (H_{\alpha})\alpha \in R$。

让$h\in \mathfrak{h}$。如果$\alpha (h) = 0, [X_{\alpha}, h] = [X_{-\alpha}, h] = 0$，那么$\theta_{\alpha}(t).h=h$。另一方面，§1, no. 5的公式(5)表明$\theta_{\alpha}(t).H_{\alpha}=-H_{\alpha}$。这就证明了断言(i)。由此可见 $\theta_{\alpha}(t)^2|\mathfrak{h}=$ Id。如果$x\in \mathfrak{g}^{\beta}$和$h\in \mathfrak{h}$，

所以$\theta_{\alpha}(t)x\in \mathfrak{g}^{\beta-\beta(H_{\alpha})\alpha}$。这就证明了(ii)。 断言 (iii) 由 (ii) 得出。

(ii) 设 $\alpha \in R$。从$\mathfrak{h}^*$到$\mathfrak{h}^*$的映射$s_{\alpha ,H_{\alpha}}:\lambda \rightarrow \lambda -\lambda (H_{\alpha})\alpha$是$\mathfrak{h}^*$的唯一反射$s$，这样$s(\alpha ) =-\alpha$和$s(R) = R$。对于所有 $t\in k^*$，$s$ 是转置 / $\theta_{\alpha}(t)|\mathfrak{h}$。

首先，R 生成 $\mathfrak{h}^*$，因为如果$h\in \mathfrak{h}$对于所有$\alpha \in R$来说是$\alpha (h) = 0$，那么$h= 0$，因此$h= 0$，因为$\mathfrak{g}$的中心是零。 定义、$0\notin R$。让$\alpha \in R$。由于$\alpha (H_{\alpha}) = 2,s=s_{\alpha ,H_{\alpha}}$是$s(\alpha ) =-\alpha$的反射。然后 $s(R) = R$ 乘以引理 1 (iii)，以及 $\beta (H_{\alpha})\in \mathbf{Z}$ 对于所有 $\beta \in R$（提案 2 (i)）。这表明R是$\mathfrak{h}^*$中的根系。对于所有 $h\in \mathfrak{h}$ 和 $\lambda \in \mathfrak{h}^*$，

所以$s$是$\theta_{\alpha}(t)|\mathfrak{h}$的转置。最后，我们证明根系 R 被减少了。设$\alpha \in R$和$y\in \mathfrak{g}^{2\alpha}$。自$3\alpha \notin R$（第VI, §1, no. 3章，提案$8$）$, [X_{\alpha}, y] = 0$；另一方面，$[X_{-\alpha}, y]\in \mathfrak{g}^{-\alpha+2\alpha}=\mathfrak{g}^{\alpha}=kX_{\alpha}$，所以$[X_{\alpha},[X_{-\alpha}, y]] = 0$；因此

所以$y= 0$和$\mathfrak{g}^{2\alpha}= 0$。在其他字中，$2\alpha$不是根。 Q.E.D.

认同 $\mathfrak{h}$ 与 $\mathfrak{h}^{**}$ 规范一致。与第 4 章的记号一起。 VI, §1, no. 1，然后我们就有了，到 Th。 2(二)、

$H_{\alpha}=\alpha^{\vee}$ 对于所有$\alpha \in R$。 (2)

The $H_{\alpha}$ thus form the root system $R^{\vee}$ in $\mathfrak{h}$ inverse to R.

我们将调用$(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$的$R(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$根系。反射$s_{\alpha ,H_{\alpha}}$将简单地用$s_{\alpha}$表示。 Weyl 群、权的群、Coxeter 数 $. .$。 $R(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ 称为Weyl 群、权的群、Coxeter 数 $. .$。 $(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$。正如第 1 章中那样。 VI, §1, no. 1，我们认为Weyl群不仅在$\mathfrak{h}^*$上运行，而且在$\mathfrak{h}$上运行结构的迁移，因此$s_{\alpha}=\theta_{\alpha}(t)|\mathfrak{h}$。由于$\theta_{\alpha}(t)$是$\mathfrak{g}$的初等自同构，我们有：

对于该结果的逆命题，请参见§5, no. 2，命题 4。

（要获得更精确的结果，请参阅第 10 号提案的§3, no. 3 和第 5 号提案§5, no. 3）。

设$k'$为$k,\mathfrak{g}'=\mathfrak{g}\otimes_kk',\mathfrak{h}'_i=\mathfrak{h}_i\otimes_kk'$的代数闭包。那么$R(\mathfrak{g}',\mathfrak{h}'_i)$就是从$\mathfrak{h}^*_i$到$\mathfrak{h}^*_i\otimes_kk'={\mathfrak{h}'_i}^*$在映射$\lambda \rightarrow \lambda \otimes 1$下$R(\mathfrak{g},\mathfrak{h}_i)$的像。由章。 VII, §3, no. 2，周四。 1，存在$\mathfrak{g}'$的自同构需要$\mathfrak{h}'_1$到$\mathfrak{h}'_2$，因此同构$\varphi$从${\mathfrak{h}'_1}^*$到${\mathfrak{h}'_2}^*$需要$R(\mathfrak{g}',\mathfrak{h}'_1)$到$R(\mathfrak{g}',\mathfrak{h}'_2)$。然后$\varphi |\mathfrak{h}^*_1$将$R(\mathfrak{g},\mathfrak{h}_1)$带到$R(\mathfrak{g},\mathfrak{h}_2)$，因此将$\mathfrak{h}^*_1$带到$\mathfrak{h}^*_2$。 Q.E.D.

根据命题 3，$(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ 的根系，直至同构，仅取决于$\mathfrak{g}$，而不取决于$\mathfrak{h}$。 In the same way, the Weyl group, group of weights $. .$. of $(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ are simply called, by abuse of language, the Weyl group, group of weights $. .$. of $\mathfrak{g}$ (cf. also §5, no. 3, Remark 2). 如果$\mathfrak{g}$的Dynkin图是型$A_l$或$B_l,. .$。 （cf.章VI, §4, no. 2，第3章），我们说$\mathfrak{g}$是型$A_l$，或$B_l,. .$..

回想一下，如果$\alpha$和$\beta$是线性独立的根、集合与$j\in \mathbf{Z}$，使得$\beta +j\alpha \in R$是$\mathbf{Z}$包含0的区间$[-q, p]$，其中$p-q=$$-\langle \beta , \alpha^{\vee}\rangle =-\beta (H_{\alpha})$（第1章） VI, §1, no. 3，提案 9）。

(i) $\mathfrak{g}$ 的向量子空间 $\sum_{-q\leq j\leq p}\mathfrak{g}^{\beta+j\alpha}$ 是维数 $p+q+ 1$ 的简单$\mathfrak{s}_{\alpha}$ 模块。

(ii) 如果$\alpha +\beta$是根，则$[\mathfrak{g}^{\alpha},\mathfrak{g}^{\beta}] =\mathfrak{g}^{\alpha+\beta}$。

令$X_{\alpha}$（或$x$）为$\mathfrak{g}^{\alpha}$（或$\mathfrak{g}^{\beta+p\alpha}$）的非零元素。然后

因此，对于与 $X_{\alpha}$ 伴随的 $\mathfrak{g}$ 上的 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$ 的表示，$x$ 是权 $p+q$ 的原语；但$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k$)-模块$\sum_{-q\leq j\leq p}\mathfrak{g}^{\beta+j\alpha}$是维数$p+q+ 1$；因此它很简单（§1, no. 2，命题 2）。如果$\alpha +\beta \in R$，则$p\geq 1$，因此$\mathfrak{g}^{\beta}$的元素不是原始的，因此$[X_{\alpha},\mathfrak{g}^{\beta}]\not= 0$。从$[\mathfrak{g}^{\alpha},\mathfrak{g}^{\beta}]\subset$$\mathfrak{g}^{\alpha+\beta}$开始，我们终于看到了$[\mathfrak{g}^{\alpha},\mathfrak{g}^{\beta}] =\mathfrak{g}^{\alpha+\beta}$。

令$\alpha \in R$，令$X_{\alpha}$为$\mathfrak{g}^{\alpha},\rho$的非零元素，与$\mathfrak{g}$上$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$的关联表示，以及$\mathfrak{g}$上$\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k)$的$\pi$表示兼容$\rho$。那么$\Phi$在$\rho$下是不变的，因此在$\pi ($§1, no. 4下是不变的）。特别是，$\Phi '$ 在 $\theta_{\alpha}(t)|\mathfrak{h}$ (no. 2) 下是不变的，因此在 W 下，最后一个断言由命题 1 (i) 得出。

事实上，根据提案，$1,\Phi (H_i, X_{\alpha}) =\Phi (H'_i, X_{\alpha}) = 0$适用于所有$i\in I,\alpha \in R$，$\Phi (\frac{1}{\Phi(X_{\alpha},X_{-\alpha})}X_{\alpha}, X_{-\beta})=\delta_{\alpha \beta}$适用于所有$\alpha , \beta \in R$。

$X_{\alpha}\in \mathfrak{g}^{\alpha}$ 和 $[X_{\alpha}, X_{-\alpha}] =-H_{\alpha}$。

令$R_1$为R的子集，使得$R = R_1\cup (-R_1)$和$R_1\cap (-R_1) =\emptyset$。对于 $\alpha \in R_1$、选择 $\mathfrak{g}^{\alpha}$ 的任意非零元素 $X_{\alpha}$。存在唯一的$X_{-\alpha}\in \mathfrak{g}^{-\alpha}$使得$[X_{\alpha}, X_{-\alpha}] =-H_{\alpha}$（Th.1（iv））。然后

如果$(X_{\alpha})_{\alpha\in R}$是引理2个家庭满足条件，那么最一般的家庭满足这些条件就是$(t_{\alpha}X_{\alpha})_{\alpha\in R}$，其中$t_{\alpha}\in k^*$和$t_{\alpha}t_{-\alpha}= 1$代表所有$\alpha \in R$。

在这个数的其余部分中，我们用$(X_{\alpha})_{\alpha\in R}$表示引理2的族满足条件。我们用$\langle \cdot ,\cdot \rangle$表示$\mathfrak{g}$上的非简并不变对称双线性形式。

每个$x\in \mathfrak{g}$都可以唯一地写成形式

两个这样的元素的括号可以通过以下公式来计算：

0 如果 $\alpha +\beta \notin R\cup \{0\}$

$[X_{\alpha}, X_{\beta}] =-H_{\alpha}$如果$\alpha +\beta = 0$

$N_{\alpha \beta}X_{\alpha+\beta}$ 如果 $\alpha +\beta \in R$

$N_{\alpha \beta}$ $k$ 的非零元素。

确实，