令$(e_i)_{i \in I}$为$L$的基，并令$p_i$为该基的坐标函数相应的。 选择 $I$ 的*良好排序*（*集合理论*、III、p. 153），并令 $L_\alpha$ 表示由 $e_i$ 生成的子模，对于 $\alpha \leq i$；把$M_\alpha = M \cap L_\alpha$。坐标函数 $p_i$ 映射 $M_\alpha$ 到理想$a_\alpha$ $A$；由于$a_\alpha$是射影$A$模，因此存在$M$的(II，p. 231，命题4)子模$N_\alpha$，使得映射$x \mapsto p_i(x)$从$N_\alpha$进入$a_\alpha$ 是双射的。令$M'_\alpha$为$N_\alpha$生成的$L$的子模，对于$\alpha \leq i$；我们将证明所有$\alpha$都有$M'_\alpha = M_\alpha$，这意味着$M$是由$(N_\alpha)_{\alpha < i}$族生成的。事实上，假设所有 $\lambda < i$ 都是 $M'_\lambda = M_\lambda$；然后$p_\lambda(x) \in a_\lambda$，对于所有$x \in M_\lambda$；因此存在$y \in N_\lambda$使得$x - y$是有限多个元素$e_i$中的线性组合，其中$\alpha < \lambda$；在其他字$x - y$是$M_\alpha$的元素，对于某些$\lambda < i$；归纳法假设表明$x - y \in M'_\lambda \subset M'_\alpha$，即$x \in M'_\alpha$，等等$M'_\alpha = M_\alpha$。还需要证明$N_\alpha$中的和是直接的；现在假设存在一个线性关系 $\sum a_\alpha = 0$，其中 $a_\alpha \in N_\alpha$，其中 $a_\alpha$（除了有限多个都是零）并不全都是零。令$p$为最大的指标$\alpha$，使得$a_\alpha \neq 0$；因为$p_\mu(a_\lambda) = 0$对应$\lambda < \mu$，我们有$p_\mu(a_\mu) = p_\mu\left( \sum a_\alpha \right) = 0$，所以$a_\mu = 0$，与$p$的选择相矛盾。

事实上，每个射影$A$-模块都是自由$A$-模块的子模（II，p. 231，命题4），并且Th。 1 适用。