习题 24, § 3

环（是否可交换）$A$，不减少到 0，被称为*主理想环*，如果它没有零的除子，并且 $A$ 的每个左理想或右理想都是单基因的。就剩下这样的环和右诺特。

\* 习题 22 至 25 是由 P. Gabriel 传达给我们的。

(a) 证明，对于$A$的每个元素$c \neq 0$，$A/Ac$是有限长度的$A$模。 （请注意，如果 $A$ 包含 $Ac$ 的理想 $Aa_n$ 递减序列，则所有 $n$ 都有 $c = b_n a_n$，并考虑正确的理想 $b_n A$。）

(b) 表明（左或右）自由 $A$ 模块的每个子模都是自由的（与 代数、章 VII, § 3、定理 1 中的参数相同）。

(c) 在每个$A$-模块$M$中，$M$的元素的集合不是免费的，$M$的子模$T$称为*挠元子模* $M$（使用章II, §2、习题14（a））；如果 $T = M$，$M$ 称为 挠元模；如果 $T = 0$，则$M$ 称为“无扭转”。

(d) 证明每个有限生成的无扭转 $A$ 模块都是自由的（使用章 II, § 2、习题 23 (b)）。

(e) 证明每个有限生成的$A$-模块是自由模和挠元模的直和。

(f) 设$a$为$A$的双边理想$\neq 0$。证明$A$存在元素、$a \in a$和自同构$\sigma$，使得所有$x \in A$都存在$a = Aa = aA$和$ax = \sigma(x)a$。 （如果$b$是左理想$a$的生成元，则$A$存在自同态$\tau$，使得$bx = \tau(x)b$对于所有$x \in A$；表明，如果$a = ub$是右理想的生成元 $a$、$u$ 可逆，使用 代数、章 VIIT、§ 2、习题 8 (b)。）