(i) $[H, X^n] = 2nX^n$ 对于任何整数 $n\geq 0$。

(ii) 如果$Z$是A的元素使得$[Z, X] =H$，那么，对于任何整数$n >0$，

从A到A的映射$T \rightarrow [H, T]$是推导，这意味着(i)。对于(ii)中的假设，

另一方面，$X^{n-1}(H+n-1) = (H-n+ 1)X^{n-1}$乘以(i)。 Q.E.D.

回想一下，我们用阶 2 的方阵的 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$ 李代数由……组成表示，跟踪零，并在 $k$ 中包含条目。这个李代数是维数3的简单组成（I, §6, no. 7，例）。 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$ 的典范基是基 $(X_+, X_-, H)$，其中

$(01)($ 0 $0)(1$ 0 $)$

$X_+=$ 0 0 $X_-=-1$ 0 $H=$ 0 $-1$。

我们有

由于$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$的恒等式表示是单射的，$H$是$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$的半单，元素和$X_+, X_-$是$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$的幂零元（第I, §6, no. 3，第3章）。由章。 VII, §2, no. 1、例 $4,kH$ 是嘉当子代数 / $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$。 映射$U \rightarrow -^tU$是李代数$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$的对合自同构，称为$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$的规范对合；将变换$(X_+, X_-, H)$转换为$(X_-, X_+,-H)$。

对于任意整数 $n\geq 0$，并且

如果$n >0$。

第一个和第三个关系源自引理1。其他的可以通过使用$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$的规范对合从它们中推导出来。

事实上，$HX_+x= [H, X_+]x+X_+Hx= 2X_+x+X_+\lambda x= (\lambda + 2)X_+x$，类似的$HX_-x= (\lambda -2)X_-x$（cf.也是第VII, §1, no. 3章，提案10（ii））。

由于$X_+$是幂零元，$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k),X_{+E}$是幂零的。假设 $X_{+E}^{m-1}\not= 0$ 和 $X_{+E}^m$ = 0。通过引理 2，

因此 $X_+^{m-1}(E)$-- $\{0\}$ 的元素是原始的。

第一个公式来自引理3，第二个定义来自$e_n$。我们通过$n$上的归纳证明了第三个。从$e_{-1}= 0$开始$n= 0$就满足了。如果$n >0$，

这是从公式 (2) 得出的。

整数$n\geq 0$，使得$e_n\not= 0$构成$\mathbf{N}$中的一个区间，并且$e$生成的子模的$k$上有相应的元素$e_n$形式基 （事实上，它们是线性独立的，因为它们是不同的权的非零元素）。这个基将被认为与原语元素$e$相关联。

(i) $e$ 的权 $\lambda$ 是整数且等于 dim $V-1$；

(ii) $(e_0, e_1, . . . , e_{\lambda})$是V中的基，$e_n= 0$是$n > \lambda$；

(iii) $H_V$中的特征值为$\lambda , \lambda -2, \lambda -4, . . . ,-\lambda$；它们都是重数 1；

(iv) V 的每个原语元素都与 $e$ 成比例；

(v) 模 V 的交换子被约化为标量；特别是V绝对简单。

令$m$为最大的整数，使得$e_m\not= 0$。然后$0 =X_+e_{m+1}=$$(\lambda -m)e_m$，所以$\lambda =m$；由于$(e_0, e_1, . . . , e_m)$是V的基，这证明了(i)和(ii)。 断言 (iii) 源自等式 $He_n= (\lambda -2n)e_n$。我们有 $X_+e_n\not= 0$ 对应 $1\leq n\leq m$，因此 (iv)。设$c$为模V的交换子元素。那么$Hc(e) =cH(e) =\lambda c(e)$，所以存在$\mu\in k$使得$c(e) =\mu e$；然后

对于所有 $q\geq 0$，因此 $c=\mu.1$，证明 (v)。

(i) 自同态 $H_E$ 可对角化的，并且其特征值是有理数整数。

(ii) 对于任何$p\in \mathbf{Z}$，令$E_p$为$H_E$相应的到特征值$p$的特征空间。令$i$为整数$\geq 0$。 映射 $X_{-E}^i|E_p: E_p\rightarrow E_{p-2i}$ 是 $i\leq p$ 的单射，$i=p$ 的双射，$i\geq p$ 的满射。 映射 $X_{+E}^i|E_{-p}: E_{-p}\rightarrow E_{-p+2i}$ 是 $i\leq p$ 的单射，$i=p$ 的双射，$i\geq p$ 的满射。

(iii) E 的长度等于dim Ker$X_{+E}$和dim Ker$X_{-E}$。

(iv) 对于$p$偶数（或奇数），令$E'$（或$E''$）为$E_p$的和。则$E'$（或$E''$）为奇数（或偶数）维数 E 简单子模和；和$E = E'\oplus E''$。 $E'$的长度暗淡$E_0$，$E''$的暗淡$E_1$。

(v) Ker$X_{+E}\cap$ Im$X_{+E}\subset \sum_{p>0}E_p$ 和 Ker$X_{-E}\cap$ Im$X_{-E}\subset \sum_{p<0}E_p$。

如果 E 很简单，则 E 由原语元素 (引理 4) 生成，并且满足应用命题 1 和 2。 一般情况如下，因为每个有限维 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k$) 模都是半单。

我们有$X_+u^m= 0$和$Hu^m=mu^m$，所以$u^m$是权$m$的原语。由$u^m$生成的$V(m)$的子模是维数$m+ 1$（命题2（i）），因此等于$V(m)$。根据命题 2 (v)，$V(m)$ 绝对简单。

这是从引理 4 和命题 1、2 和 3 得出的。

这个映射显然是线性的，并且它是单射的，因为 $u^m$ 生成 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k$)-模 $V(m)$。如果$f\in L$，

所以$f(u^m)\in P_m\cup \{0\}$。设$e\in P_m$，以及由$e$生成的E的V子模。根据命题1，存在从模$V(m)$到模V的同构，需要$u^m$到$e$。然后$L(u^m) = P_m\cup \{0\}$。

昏暗(P$_m\cup \{0\}$.

(i) E 上存在与 $\rho$ 兼容的唯一 $\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k)$ 线性表示 $\pi$。

(ii) E 的向量子空间 F 在 $\pi$ 下稳定当且仅当它在 $\rho$ 下稳定。

(iii)设$x\in E$。那么$\pi (s)x=x$对于所有$s\in \mathbf{S}\mathbf{L}(2, k)$当且仅当$x$在$\rho ($下不变，即$\rho (a)x= 0$对于所有$a\in \mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k))$。

$\pi$ 的存在由前面的 和 Th 推出。 1. 另一方面，我们知道群$\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k)$是由形式的元素生成的

$e^+=e$ =

0 1 $t$ 1

其中 $t\in k($代数，第 1 章III, §8, no. 9，提案 17）。这就证明了$\pi$的唯一性。

断言 (ii) 和 (iii) 遵循我们与第 1 章所说的内容。 VII, §3, no. 1、引理 1 (i)。 Q.E.D.

因此，每个有限维 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k$) 模块都有一个独特的 $\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k)$ 模块结构，据说与其 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k$) 模块结构相关。

(i) $f$ 是 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$ 模块中的同态；

(ii) $f$ 是 $\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k)$ 模块中的同态。

条件 (i) 表示 $f$ 是 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k$) 模块 Hom$_k(E,F)$ 的不变量元素，条件 (ii) 表示 $f$ 是 $\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k$) 模块的不变量元素坎$_k(E,F)$。由于这些模结构与第 1 章相关联。 VII, §5, no. 4、引理 1 (iii)、命题源自 Th。 2（三）。

(i) 从$E_p$到$E_{-p}$，$\theta (t)_E|E_p$是双射。

(ii) $h(t)_E|E_p$ 是位似，$t^p$ 与 $E_p$ 的比率。

如果$E = V(n)$，则从公式 (4) 和 (6) 得出命题。一般情况来自 Th。 1.

0 $-1$

$-1$ $E''$ 前。

这是从适用于 $t=-1$ 的 (ii) 得出的。