习题 5, § 1

令 E 为局部有限 $\mathfrak{s}$ 模（练习 4）。对于所有$m\geq 0$，用从$V(m)$到E的$\mathfrak{s}$同态的$L(m)$向量空间表示。

a) 从 E 到 $\bigoplus_mL_m\otimes V(m)$ 定义同构。

b) 用no. 3、注中定义的$V(m)$上的$\Phi_m$不变双线性形式表示。对于所有$m\in \mathbf{N}$，令$b_m$为$L_m$上的双线性形式；设$b$为E上的双线性形式，其中对应，通过a)中的同构，到形式$b_m\otimes \Phi_m$的直和。证明$b$是不变的，并且E上的每个不变双线性形式都是以这种方式以唯一的方式获得的。 形式 $b$ 是对称的（分别是交错的）当且仅当 $b_m,m$ 是偶数，是对称的（分别是交错的），并且 $b_m,m$ 是奇数，是交错的（分别是对称）。 形式 $b$ 是非简并的当且仅当 $b_m$ 是非简并的。

c) 假设 E 是有限维的。证明 E 是单基因的（作为 $U(\mathfrak{s})$ 模）当且仅当对于所有 $m\geq 0$ 为暗淡 $L_m\leq m+ 1$。