Bài tập 5, § 1

Cho E là một $\mathfrak{s}$-môđun hữu hạn địa phương (Bài tập 4). Với mọi $m\geq 0$, ký hiệu $L(m)$ là không gian vectơ của các đồng cấu $\mathfrak{s}$ từ $V(m)$ vào E.

a) Định nghĩa một đẳng cấu từ E vào $\bigoplus_mL_m\otimes V(m)$.

b) Ký hiệu $\Phi_m$ là dạng song tuyến tính bất biến trên $V(m)$ được định nghĩa trong no. 3, Nhận xét 3. Với mọi $m\in \mathbf{N}$, cho $b_m$ là một dạng song tuyến tính trên $L_m$; cho $b$ là dạng song tuyến tính trên E tương ứng, qua đẳng cấu trong a), với tổng trực tiếp của các dạng $b_m\otimes \Phi_m$. Chứng minh rằng $b$ là bất biến, và mọi dạng song tuyến tính bất biến trên E đều thu được theo cách này một cách duy nhất. Dạng $b$ là đối xứng (tương ứng, phản xứng) khi và chỉ khi các $b_m,m$ chẵn, là đối xứng (tương ứng, phản xứng), và các $b_m,m$ lẻ, là phản xứng (tương ứng, đối xứng). Dạng $b$ là không suy biến khi và chỉ khi các $b_m$ là không suy biến.

c) Giả sử rằng E là hữu hạn chiều. Chứng minh rằng E là đơn sinh (với tư cách là một $U(\mathfrak{s})$-môđun) khi và chỉ khi dim $L_m\leq m+ 1$ với mọi $m\geq 0$.