(i) V 属于中的所有权到 P。

(ii) $V =\bigoplus_{\mu\in P}V^\mu$。

(iii) 对于所有$\mu\in \mathfrak{h}^*,V^\mu$ 是$x\in V$ 的集合，使得$h.x=\mu(h)x$ 对于所有$h\in \mathfrak{h}$。

对于所有$\alpha \in B$，存在从$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$到$\mathfrak{g}$的同态，需要$H$到$H_{\alpha}$。因而，通过 §1, no. 2，Cor。命题$2, (H_{\alpha})_V$可对角化，其特征值为整数。因而，对于$\alpha \in B$，$(H_{\alpha})_V$的集合是可对角化的（代数，第VII, §5, no. 6章，第13条命题）。因而，对于所有 $h\in \mathfrak{h},h_V$ 都是可对角化的。由章。 VII, §1, no. 3，提案$9, V =\bigoplus_{\mu\in\mathfrak{h}^*}V^\mu$。另一方面，如果$V^\mu\not= 0$，则前面的内容表明，对于所有$\alpha \in B$，$\mu(H_{\alpha})\in \mathbf{Z}$，因而$\mu\in P$。这就证明了(i)和(ii)。我们以同样的方式看到 $\mathfrak{h}_V$ 是可对角化的，因而 (iii)。

(i) 如果$x, y\in \mathfrak{h}_{\mathbf{Q}}$，则$\Phi (x, y)\in \mathbf{Q}$ 和$\Phi (x, x)\in \mathbf{Q}_+$。

(ii) 如果$\rho$是单射的，$\Phi$到$\mathfrak{h}$的限制是非简并的。

断言 (i) 由命题 1 得出，因为 P 的元素在 $\mathfrak{h}_{\mathbf{Q}}$ 上有理数值。如果 $\rho$ 是单射的，$\Phi$ 是非简并的（第 I, §6, no. 1 章，命题 1），因而 $\Phi$ 到 $\mathfrak{h}$ 的限制是非简并的（第 VII, §1, no. 3 章，命题 10 (iii)）。

(i) 如果$a$是$\mathfrak{g}$的幂零元，并且如果$\rho (a)$局部幂零，

对于所有$b\in \mathfrak{g}$。

(ii) 如果$\mathfrak{g}^{\alpha}$和$\mathfrak{g}^{-\alpha}$的元素的$\rho$下的$\alpha \in R$和像局部幂零，则V的权的集合在反射$s_{\alpha}$下是稳定的。

对于 (i) 中的假设，对于所有 $n\geq 0$，我们有$\rho$((ad $a$)$^nb$) $=$ (ad $\rho (a)$)$^n\rho (b)$，因而$\rho (e^{ada}b) =e^{ad\rho(a)}\rho (b)$。另一方面，

是第 1 章的断言 (ii)。 VII, §3, no. 1、引理 1。

我们现在在(ii)中采用假设。让$\theta_{\alpha}=e^{adX_{\alpha}}e^{adX_{-\alpha}}e^{adX_{\alpha}}$。通过 (i)，存在 $S\in \mathbf{G}\mathbf{L}(V)$，使得对于所有 $b\in \mathfrak{g}$ 都有 $\rho (\theta_{\alpha}b) = S\rho (b)S^{-1}$。现在$\theta_{\alpha}|\mathfrak{h}$是$s_{\alpha}($§2, no. 2的转置，引理1)。令 $\lambda$ 为 V 中的权。存在V的非零元素$x$，使得$\rho (h)x=\lambda (h)x$对于所有$h\in \mathfrak{h}$。然后

对于所有$h\in \mathfrak{h}$。因而，$s_{\alpha}\lambda$ 是V 中的权。

(i) 存在$S\in \mathbf{G}\mathbf{L}(V)$，使得$(s(x))_V= Sx_VS^{-1}$对于所有$x\in \mathfrak{g}$。

(ii) 如果$s\in$ Aut$_e(\mathfrak{g})$，则可以将S选择为$\mathbf{S}\mathbf{L}(V)$的元素，从而使V的所有$\mathfrak{g}$子模块保持稳定。

断言 (ii) 由引理 1 (i) 得出。现在让 $s\in$ Aut$_0(\mathfrak{g})$ 并用 V 定义的 $\mathfrak{g}$ 的$\rho$ 表示表示。通过(ii)，表示$\rho$和$\rho \circ s$成为等价的标量之后扩张。因此它们是等价的（第 I, §3, no. 8 章，命题 13），因此存在 S。

事实上，$w$ 是形式 $s^*$ 和 $s\in$ Aut$_e(\mathfrak{g},\mathfrak{h}) ($§2, no. 2，Cor。的 Th。 2）。

我们用V表示一个简单的$\mathfrak{g}$模块，用$\mathscr{X}$表示它的权的集合。

a) 假设 V 是有限维的。那么 $\mathscr{X}$ 是有限且非空的（命题 1），极大元素 $\omega$ 也是如此。让$\alpha \in B$。然后$\omega +\alpha \notin \mathscr{X}$，证明$\omega$是V的最高权（§6, no. 2，引理2）。另一方面，存在从$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$到$\mathfrak{g}$需要$H$到$H_{\alpha}$的同态；根据§1，提案 2 (i)，$\omega (H_{\alpha})$ 是整数 $\geq 0$，所以$\omega \in P_{++}$。

b) 假设V有最高权$\omega \in P_{++}$。令$\alpha \in B$和$e$为V中权$\omega$的原语元素。将$e_j=X_{-\alpha}^je$换成$j\geq 0$，

$m=\omega (H_{\alpha})\in \mathbf{N}$，N = $\sum_{j=0}^mke_j$。根据 §1, no. 2，提案 $1,X_{\alpha}e_{m+1}$ = 0。

如果 $\beta \in B$ 和 $\beta \not=\alpha$，则 $[X_{\beta}, X_{-\alpha}] = 0$，因此 $X_{\beta}e_{m+1}=X_{\beta}X_{-\alpha}^{m+1}e$ = $X_{-\alpha}^{m+1}X_{\beta}e= 0$。如果$e_{m+1}\not= 0$，我们结论认为$e_{m+1}$是原始的，这是荒谬的（§6，命题3（i））；所以$e_{m+1}= 0$。因此，通过 §1, no. 2，Cor。根据命题1，N在$H_{\alpha}, X_{\alpha}$和$X_{-\alpha}$生成的子代数$\mathfrak{s}_{\alpha}$下是稳定的。现在$\mathfrak{s}_{\alpha}$在$\mathfrak{g}$中被还原，因此V的有限维子空间在$\mathfrak{s}_{\alpha}$下稳定的和是V的$\mathfrak{g}$子模（第I, §6, no. 6，道具。） 7);由于和非零，因此它等于V。由此可见$(X_{\alpha})_V$和$(X_{-\alpha})_V$是局部幂零的。鉴于引理 1 (ii)，$\mathscr{X}$在$s_{\alpha}$下是稳定的，这对于所有$\alpha$都成立。因此$\mathscr{X}$在W下是稳定的。现在P上W的每个轨道都满足$P_{++}$（第VI, §1, no. 10）。另一方面，如果 $\lambda \in \mathscr{X}\cap P_{++}$，则 $\lambda =\omega -\sum_{\alpha\in B}n_{\alpha}\alpha =\sum_{\alpha\in B}n'_{\alpha}\alpha$ 以及 $n_{\alpha}\in \mathbf{N}$ 和 $n'_{\alpha}\geq 0$ 对于所有 $\alpha \in B$

（第V, §3, no. 5、引理6章）。所以$\mathscr{X}\cap P_{++}$是有限的，因此$\mathscr{X}$也是有限的。由于每个权都有有限的重数（§6, no. 1，命题 1 (ii)），V 是有限维的。

$\mathfrak{g}$-模$E(\lambda )$，其中$\lambda$是基本权，称为基本$\mathfrak{g}$-模； 相应的表示称为$\mathfrak{g}$的基数表示；它们是绝对不可约的（§6, no. 2，命题 3 (iv)）。

如果V是有限维$\mathfrak{g}$模且$\lambda \in P_{++}$，则型$E(\lambda )$的V的同典型分量称为最高权$\lambda$的V的同典型分量。

(i) I = $-q, p$ 和 $q-p=\lambda (H_{\alpha})$。

(ii) 对于任何整数、$u\in 0, p+q,\lambda + (p-u)\alpha$和$\lambda + (-q+u)\alpha$，共轭低于$s_{\alpha}$和$m_{-q+u}=m_{p-u}$。

(iii) 如果$t\in \mathbf{Z}$和$t <(p-q)/2$，则$(X_{\alpha})_V$映射$V^{\lambda+t\alpha}$内射到$V^{\lambda+(t+1)\alpha}$。

(iv) 函数 $t \rightarrow m_t$ 在 $-q,(p-q)/2$ 上是递增，在$(p-q)/2, p$ 上是递减。

让$\alpha \in B$。给出V由$\mathfrak{g}$的元素$X_{\alpha}, X_{-\alpha}, H_{\alpha}$定义的$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k$)模块结构。 $V^{\lambda+p\alpha}$ 的每个非零元素都是本原的。因而，$(\lambda +p\alpha )(H_{\alpha})\geq 0$ 和 $(X_{-\alpha})^rV^{\lambda+p\alpha}\not= 0$ 为

（§1, no. 2，提案 2）。由此可见，$V^{\lambda+t\alpha}\not= 0$ 对应$p\geq t\geq p-(\lambda (H_{\alpha}) + 2p)$，因而$p+q\geq \lambda (H_{\alpha}) + 2p$。 应用这个结果到 $-\alpha$ 给出

因而 $q-p=\lambda (H_{\alpha})$ 和 $\lambda +t\alpha \in \mathscr{X}$ 对于 $p\geq t\geq -q$，这证明了 (i)。

我们有 $s_{\alpha}(\alpha ) =-\alpha$，所有 $\mu\in \mathfrak{h}^*$ 都有 $s_{\alpha}(\mu)\in \mu+k\alpha$。由于 W 使 $\mathscr{X}$ 保持稳定（$2$ 的 Cor. 2），$,s_{\alpha}$ 使 $\{\lambda -q\alpha , \lambda -q\alpha +\alpha , . . . , \lambda +p\alpha \}$ 保持稳定，并且对于所有 $u\in k$，将 $\lambda -q\alpha +u\alpha$ 变为 $\lambda +p\alpha -u\alpha$。使用 Cor.再次根据 Prop. 2 的 2，我们看到每个整数 $u\in 0, p+q$ 都有 $m_{-q+u}=m_{p-u}$。这就证明了(ii)。

由 §1 提供，Cor.命题$2, (X_{\alpha})_V|V^{\lambda+t\alpha}$是$t <(p-q)/2$的单射。现在$(X_{\alpha})_V$映射$V^{\lambda+t\alpha}$到$V^{\lambda+(t+1)\alpha}$。因而 $m_{t+1}\geq m_t$ 对应 $t <(p-q)/2$。将 $\alpha$ 更改为 $-\alpha$，我们看到 $m_{t+1}\leq m_t$ 对应 $t >(p-q)/2$。这就证明了(iii)和(iv)。

这紧随提案 3 (i) 而来。

写出 $\nu =\sum_{\alpha\in B}c_{\alpha}.\alpha$，其中 $c_{\alpha}\in \mathbf{N}$ 代表所有 $\alpha \in B$。推论很清楚

当$\sum_{\alpha\in B}c_{\alpha}= 0$时；假设$\sum_{\alpha\in B}c_{\alpha}>0$，并根据归纳对$\sum_{\alpha\in B}c_{\alpha}$进行论证。令$(\cdot | \cdot )$为$\mathfrak{h}^*_{\mathbf{R}}$上的W不变非简并正对称双线性形式。那么$(\nu |\sum_{\alpha\in B}c_{\alpha}.\alpha )>0$，所以存在$\beta \in B$使得$c_{\beta}\geq 1$和

$(\nu |\beta )>0$，因而$\nu (H_{\beta})\geq 1$。从$\mu\in P_{++}$开始，得出$(\mu+\nu )(H_{\beta})\geq 1$。由科. $1,\mu+ (\nu -\beta )\in \mathscr{X}$，申请归纳假设就够了。

替换V由$v$生成的$\mathfrak{g}$子模块生成，如有必要，我们可以假设V是简单的。设$\mathfrak{s}$为稳定子。我们有 $(\mathfrak{n}_+)_Vv$ = 0, $(\mathfrak{h})_Vv\subset kv$。令$\alpha \in B$ 使得$\omega (H_{\alpha}) = 0$。我们有 $\omega +\alpha \notin \mathscr{X}$，因此有 $\omega -\alpha \notin \mathscr{X}$（命题 3 (i)），因此有 $(\mathfrak{g}^{-\alpha})_Vv= 0$。上式证明$\mathfrak{p}_{\Sigma}\subset \mathfrak{s}$。如果$\mathfrak{p}_{\Sigma}\not=\mathfrak{s}$，则$\mathfrak{s}=\mathfrak{p}_{\Sigma'}$，其中$\Sigma '$严格来说是B的子集包含$\Sigma$。让 $\beta \in \Sigma '$ -- $\Sigma$。然后$\mathfrak{g}^{-\beta}$稳定$kv$，从而消灭$v$。但是，从$\omega (H_{\beta})>0$开始，这个与……矛盾提案3 (iii)。 Q.E.D.

如果 P 的子集 $\mathscr{X}$ 满足以下条件，则称为 R 饱和的：对于所有 $\lambda \in \mathscr{X}$ 和所有 $\alpha \in R$，对于 0 到 $\lambda (H_{\alpha})$ 之间的所有整数 $t$，我们有 $\lambda -t\alpha \in \mathscr{X}$。从$s_{\alpha}(\lambda ) =\lambda -\lambda (H_{\alpha})\alpha$开始，我们看到P的R饱和子集在W下是稳定的。设$\mathscr{Y}\subset P$。如果对于所有 $\alpha \in R$，$\lambda +\alpha \notin \mathscr{Y}$ 或 $\lambda -\alpha \notin \mathscr{Y}$，则$\mathscr{Y}$ 的元素 $\lambda$ 称为$\mathscr{Y}$ 中的 R 极值。

这直接来自于第 3 条命题。

(i) $\mathscr{X}$ 是 P 包含 $\omega$ 的最小的 R 饱和子集。

(ii) $\mathscr{X}$ 的 R 极值元素是 $\omega$ 的 W 变换。

(iii) 如果$\mu\in \mathscr{X}$，我们就有$\|\mu\| \leq \|\omega \|$。如果，在加法，$\mu\not=\omega$，我们有$\|\mu+\rho \|<\|\omega +\rho \|$。如果 $\mu$ 不是 $\mathscr{X}$ 中的 R 极值，则 $\|\mu\|<\|\omega \|$。

(iv) 我们有$\mathscr{X}= W.(\mathscr{X}\cap P_{++})$。 $P_{++}$ 属于的元素 $\lambda$ 到 $\mathscr{X}\cap P_{++}$ 当且仅当$\omega -\lambda \in Q_+$。

(i) 令 $\mathscr{X}'$ 为 P 包含 $\omega$ 的最小的 R 饱和子集。我们有 $\mathscr{X}'\subset \mathscr{X}$（命题 4）。假设$\mathscr{X}\not=\mathscr{X}'$。令 $\lambda$ 为 $\mathscr{X}$ -- $\mathscr{X}'$ 中的极大元素。由于$\lambda \not=\omega$，存在$\alpha \in B$使得$\lambda +\alpha \in \mathscr{X}$。按照命题 3 引入 $p$ 和 $q$。因为 $\lambda$ 在 $\mathscr{X}$ -- $\mathscr{X}',\lambda +p\alpha \in \mathscr{X}'$ 中最大。根据命题 3 (ii)，由于 $\mathscr{X}'$ 在 W 下是稳定的，$\lambda -q\alpha \in \mathscr{X}'$ 是稳定的。因此，对于区间 $-q, p$ 内的每个整数 $u$，$\lambda +u\alpha \in \mathscr{X}'$ 都是稳定的。这与……矛盾 $\lambda \notin \mathscr{X}'$ 并证明 (i)。

(ii) 显然$\omega$是$\mathscr{X}$的R极值元素；因此，它的 W 变换在 $\mathscr{X}$ 中也是 R 极值。令$\lambda$为$\mathscr{X}$的R极值元素；我们将证明$\lambda \in W.\omega$。由于存在$w\in W$使得$w\lambda \in P_{++}$（第VI, §1, no. 10章），我们可以假设$\lambda \in P_{++}$。设 $\alpha \in B$；引入$p$和$q$，如命题3。由于$\lambda$是R极值，$p= 0$或$q= 0$。自从

我们不能有$p >0$。因此$p= 0$和$\lambda =\omega$。

(iii)设$\mu\in \mathscr{X}\cap P_{++}$。然后$\omega +\mu\in P_{++}$和$\omega -\mu\in Q_+($§6, no. 1，命题1)，所以$0\leq (\omega -\mu|\omega +\mu) = (\omega |\omega )-(\mu|\mu)$；因此，$(\mu|\mu)\leq (\omega |\omega )$，以及通过使用 Weyl 群将这个扩展转换为所有 $\mu\in \mathscr{X}$。如果 $\mu\in \mathscr{X}$ -- $\{\omega \}$，

现在$\omega -\mu=\sum_{\alpha\in B}n_{\alpha}\alpha$和整数$n_{\alpha}\geq 0$不是所有零，所以从$(\rho |\alpha )>0$开始$(\omega -\mu|\rho )>0$对于所有$\alpha \in B$（第VI, §1, no. 10，提案29（iii））。如果$\mu$不是$\mathscr{X}$中的R极值，则存在$\alpha \in R$使得$\mu+\alpha \in \mathscr{X}$和$\mu-\alpha \in \mathscr{X}$；然后

$\|\mu\|<$ 上($\|\mu+\alpha \|,\|\mu-\alpha \|$)$\leq$ 上$_{\lambda\in\mathscr{X}}\|\lambda \|$

最后一个上界是前一个$\|\omega \|$。

(iv) 我们有第 1 章的$\mathscr{X}= W.(\mathscr{X}\cap P_{++})$。 VI, §1, no. 10。如果 $\lambda \in \mathscr{X}$，则$\omega -\lambda \in Q_+($§6, no. 1，命题 1)。如果 $\lambda \in P_{++}$ 和 $\omega -\lambda \in Q_+$，则 $\lambda \in \mathscr{X}$（第 3 条命题第 2 条）。

由于$\mathscr{X}$在$W,\mathscr{X}$下稳定，因此最小的R饱和集合包含$\mathscr{X}\cap P_{++}$。根据提案 5 (i)，$\mathscr{X}$ 是集合权 $\bigoplus_{\lambda\in\mathscr{X}\cap P_{++}}E(\lambda )$。

(i) $\mathscr{X}= W.\lambda$；

(ii) $\mathscr{X}$ 中的所有元素具有相同的范数；

(iii) 对于所有$\alpha \in R$，我们有$\lambda (H_{\alpha})\in \{0,1,-1\}$。

P 包含元素 $\lambda$ 满足上述条件的每个非空 R 饱和子集。

介绍一下条件：

(ii$'$) 对于所有 $\alpha \in R$ 以及对于 0 到 $\lambda (H_{\alpha})$ 之间的每个整数 $t$，

(i) $=\Rightarrow$ (ii) $=\Rightarrow$ (ii$'$)$:$ 这很清楚。

(ii$'$)$=\Rightarrow$(iii)：假设满足条件(ii$'$)。让$\alpha \in R$。我们有 $\|\lambda \|=\|\lambda -\lambda (H_{\alpha})\alpha \|$，因此每个整数 $t$ 的 $\|\lambda -t\alpha \|<\|\lambda \|$ 严格在 0 到 $\lambda (H_{\alpha})$ 之间；因此，不可能有这样的整数，所以$|\lambda (H_{\alpha})| \leq 1$。

(iii)$=\Rightarrow$(i)：假设满足条件(iii)。设$w\in W$和$\alpha \in R$。然后$(w\lambda )(H_{\alpha}) =\lambda (H_{w^{-1}\alpha})\in \{0,1,-1\}$；因此，如果 $t$ 是整数，介于 0 和 $(w\lambda )(H_{\alpha}),w\lambda -t\alpha$ 之间，则等于 $w\lambda$ 或 $s_{\alpha}(w\lambda )$。这证明$W.\lambda$是R饱和的，所以$\mathscr{X}= W.\lambda$。

令$\mathscr{Y}$为P的非空R饱和子集。存在$\mathscr{Y}$元素$\lambda$最小范数。很明显，$\lambda$满足条件（ii$'$），因此最后一个断言等于命题。

(iv) 对于所有$\alpha \in R$和所有$x\in \mathfrak{g}^{\alpha}$，我们有$(x_V)^2= 0$。

如果满足这些条件，则V中的所有权都有重数 1。

如果满足(i)，则$\mathscr{X}= W.\lambda$和权都具有与$\lambda$相同的重数（命题2的Cor.2），在其他字，重数1。此外，如果$w\in W$和$\alpha \in R,w\lambda +t\alpha$不能是权 V 除非 $|t| \leq 1$；因此，如果$x\in \mathfrak{g}^{\alpha}$，

所以$(x_V)^2= 0$，证明(i)$=\Rightarrow$(iv)。

相反，假设满足(iv)。设$\alpha \in R$，并给V由$\mathfrak{g}$的元素$X_{\alpha}, X_{-\alpha}, H_{\alpha}$定义的$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$模块结构。 条件 (iv)，应用于$x=X_{\alpha}$，意味着$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k$)-模块V属于到$\{0,1,-1\}$的权（cf.§1, no. 2，Prop.2的Cor.）。特别是$\lambda (H_{\alpha})\in \{0,1,-1\}$，所以 (iv) $=\Rightarrow$ (iii)。

(v) $\lambda (H) = 1$；

(vi) 存在$i\in J$使得$\lambda =\varpi_i$。

$P(R)/Q(R)$的非零元素代表P(R)中的$\varpi_i$、$i\in J$、形式系统。

让$\lambda =u_1\varpi_1+\cdots +u_l\varpi_l$，其中$u_1, . . . , u_l$是整数$\geq 0$，而不是全部零。然后$\lambda (H) =u_1n_1+\cdots +u_ln_l$和$n_1\geq 1, . . . , n_l\geq 1$，立即给出(v)和(vi)的等价。另一方面，$\lambda (H) =$sup$_{\alpha\in R_+}\lambda (H_{\alpha})$和$\lambda (H)>0$，因为$\lambda$是$P_{++}$的非零元素。因此

对于所有 $\alpha \in R$，条件 (v) 相当于条件 $\lambda (H_{\alpha})\in \{0,1\}$，在第 6 条的其他字至条件 (iii) 中。

命题中的最后一个断言源自第1章。 VI, §2, no. 3，科。提案 6。